Origen de la integral del tensor de intensidad de campo en la exponencial ordenada por trayectoria en la teoría del campo de calibre

Question

Origen de la integral del tensor de intensidad de campo en la exponencial ordenada por trayectoria en la teoría del campo de calibre

Oro

Al estudiar algunos enfoques de teorías de calibre para problemas en Mecánica, encontré la siguiente integral

PAG Exp [\oint A d t] = 1 + \frac{1}{2} \oint_{\partial D} \sum_{m, v} F_{m v} γ^{m} (t) {\dot{γ}}^{v} (t) d t,

$P\exp\left[\oint A \ dt\right]=1+\dfrac{1}{2}\oint_{\partial D}\sum_{\mu,\nu}F_{\mu\nu}\gamma^{\mu}(t) \dot{\gamma}^{\nu}(t)dt,$

dónde $A$ es el potencial de calibre, y $F$ es el tensor de intensidad de campo (es decir, el retroceso de la forma de curvatura dos por una determinada elección de mapa de calibre). Esta integral apareció, en los artículos (como este , en la página 564) que he visto, sobre el cálculo de la exponencial ordenada por caminos, pero no pude entender de dónde viene. Parece, en esta fórmula, que estamos integrando sobre un camino, pero $F$ es un $2$ -forma, por lo que debe estar integrado sobre un $2$ -cadena.

En el artículo hay una derivación, pero realmente no entendí lo que hicieron, no parece muy riguroso. Además, cuando estudié los principales haces de fibra y las conexiones en esos haces, no vi esta integral. También he buscado en algunos libros de matemáticas y no lo encontré.

Entonces, ¿de dónde viene esta integral, qué significa rigurosamente y cómo se relaciona con la exponencial ordenada por trayectoria?

qmecanico

Posible duplicado: physics.stackexchange.com/q/65639/2451

Respuestas (1)

Origen de la integral del tensor de intensidad de campo en la exponencial ordenada por trayectoria en la teoría del campo de calibre

FraSchelle · Answer 1

Parece que pides lo siguiente. Supongamos que uno tiene el operador de Wilson

tu (b, a) = PAG Exp [\frac{i gramo}{ℏ} \int_{0}^{1} d z^{m} (s) A_{m} (z (s))]

$U\left(b,a\right)=P\exp\left[\dfrac{\mathbf{i}g}{\hbar}\int_{0}^{1}dz^{\mu}\left(s\right)A_{\mu}\left(z\left(s\right)\right)\right]$

con $P$ el operador de orden de trayectoria, $A$ el potencial manométrico (forma de conexión 1) y $z\left(s\right)$ el camino a lo largo del cual se define la integral, de $s=0$ a $s=1$ . Entonces la variación infinitesimal de $U$ con respecto a sus puntos finales se lee

d tu (b, a) = \frac{i gramo}{ℏ} A (b) tu (b, a) d b - \frac{i gramo}{ℏ} tu (b, a) A (a) d a - \frac{i gramo}{ℏ} \int_{0}^{1} [tu (b, z (s)) F_{m v} (z (s)) tu (z (s), X)] \frac{d z^{m}}{d s} (\frac{d z^{v}}{d b^{λ}} d b^{λ} + \frac{d z^{v}}{d a^{λ}} d X^{λ}) d s

$\delta U\left(b,a\right)=\dfrac{\mathbf{i}g}{\hbar}A\left(b\right)U\left(b,a\right)db-\dfrac{\mathbf{i}g}{\hbar}U\left(b,a\right)A\left(a\right)da\\-\dfrac{\mathbf{i}g}{\hbar}\int_{0}^{1}\left[U\left(b,z\left(s\right)\right)F_{\mu\nu}\left(z\left(s\right)\right)U\left(z\left(s\right),x\right)\right]\dfrac{dz^{\mu}}{ds}\left(\dfrac{dz^{\nu}}{db^{\lambda}}db^{\lambda}+\dfrac{dz^{\nu}}{da^{\lambda}}dx^{\lambda}\right)ds$

dónde $F_{\mu\nu}=\partial_{\mu}A_{\nu}-\partial_{\nu}A_{\mu}-\dfrac{\mathbf{i}g}{\hbar}\left[A_{\mu},A_{\nu}\right]$ la intensidad del campo de calibre. $g$ es una constante en todas partes, y $\hbar$ es para la decoración aquí.

La fórmula anterior se demuestra en

J. Winter, extensión covariante de la transformación de Wigner a simetrías de Yang-Mills no abelianas para un enfoque de ecuación de Vlasov para el plasma de quarks y gluones Le J. Phys. Coloq. 45, C6.53 (1984) .
H.-T. Elze, M. Gyulassy y D. Vasak, Ecuaciones de transporte para el operador Wigner del quark QCD Nucl. física B 276, 706 (1986) .

ver también

H. Weigert y U. Heinz, Ecuaciones cinéticas para el plasma de quarks y gluones y su expansión semiclásica Zeitschrift Für Phys. Parte C. Campos 50, 195 (1991) .

También tengo algunas notas sobre la derivación de una manera más simple (cuasi-heurística), pero no estoy seguro de si es exactamente lo que está buscando. Parece que la fórmula que di arriba contiene la tuya (es difícil de ver ya que ni siquiera proporcionaste una igualdad...

gracias por la respuesta, he editado la pregunta publicando la igualdad total.
Muchas gracias. Me temo que tu fórmula todavía no es correcta. Solo es cierto a primer orden en $F$ Supongo, o para pequeños $\gamma$ (no definida). Entonces lo que llamas $t$ es lo que yo llamo $s$ , por lo que la fórmula debe coincidir. Creo que lo hacen en el límite. $U\approx 1$ válido para un pequeño camino. De todos modos, $\delta U$ es correcto. Edité la publicación desde $\delta U$ no se definió.

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