1. Instantáneas

1.1 Instantons como solución clásica

Un instanton es casi exactamente lo que dices: una configuración (anti-) autodual de la curvatura de un paquete principal. la curvatura$F_A$de un paquete principal con conexión$A$es el tensor de intensidad de campo de la teoría de calibre físico, mientras que la conexión se denomina potencial de calibre . En electromagnetismo, por ejemplo, las componentes distintas de cero de$F$son exactamente los campos eléctrico y magnético, por lo que tiene relevancia física directa. En general, la acción ¹ de una teoría de norma de Yang-Mills viene dada por la integral

$$S_\text{YM}[A] = \int_M\mathrm{Tr}_\mathfrak{g}(F\wedge \ast F)$$ cuyas ecuaciones de Euler-Lagrange son las ecuaciones clásicas del movimiento, es decir, las soluciones clásicas son puntos estacionarios de esta funcional. Ahora, podemos descomponer la intensidad del campo en una parte auto-dual $F^+$y una parte anti-auto-dual $F^-$que son ortogonales entre sí con respecto al producto interior $$(G,H) = \int G\wedge\ast H$$ Enchufar esto da $$S_\text{YM}[A] = \int \mathrm{Tr}_\mathfrak{g}(F^+\wedge \ast F^+) + \int \mathrm{Tr}_\mathfrak{g}(F^-\wedge \ast F^-)$$ y comparando esto con la segunda clase de Chern $C_2(A) := \int\mathrm{Tr}_\mathfrak{g}(F\wedge F)$Podemos ver eso $S_\text{YM}[A] \geq \lvert C_2(A)\rvert$, es decir, se minimiza localmente cuando se cumple la igualdad. Pero esa igualdad se mantiene exactamente cuando $F^+ = 0$o $F^- = 0$, es decir, cuando la intensidad de campo completa $F$es en sí mismo autodual o anti-autodual (o desapareciendo). Así, las ecuaciones clásicas de movimiento son equivalentes a $\ast F = \pm F$, es decir, los instantones son simplemente soluciones clásicas a la ecuación de movimiento.

Ya clásicamente, el tamaño del espacio de módulos de instantones es algo interesante, ya que muestra si existen o no posibles soluciones diferentes a la ecuación clásica de movimiento. Sin embargo, los instantones pueden estar relacionados por grandes transformaciones de calibre que uno puede cociente de manera clásica, por lo que contar los instantones como tales no es información suficiente para ser interesante.

1.2 Instantones como "vacío" de la teoría cuántica

La teoría de perturbaciones estándar en la teoría cuántica de campos procede expandiendo el exponencial de la función de acción alrededor de una solución clásica. La existencia de múltiples soluciones clásicas significa que debemos expandirnos en torno a cada una de ellas y resumir las soluciones con algo de peso.$f$. ² Si denotamos por$\mathcal{D}A_k$una medida integral de trayectoria de Feynman (con las clases de equivalencia de calibre cocientes) que está sobre las perturbaciones del instante etiquetado por$k = \frac{1}{8\pi}C_2(A)$³ , obtenemos para la integral de trayectoria euclidiana

$$Z = \sum_k f(k)\int \mathrm{e}^{-S_\text{YM}[A_k]}\mathcal{D}A_k$$ Por un argumento de descomposición estándar de que esta integral debe factorizarse en partes locales cuando consideramos cosas como $A_k = A_{k_1} + A_{k_2}$dónde $A_{k_1},A_{k_2}$viven en diferentes regiones, uno encuentra heurísticamente que $f(k_1+k_2) = f(k_1)f(k_2)$debería sostenerse, y dado que todo en el mundo de un físico es suave excepto cuando no lo es, esto significa que $f$es en sí mismo un exponencial $f(k) = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta k}$para algunos $\theta\in\mathbb{R}$. recuerda como $k$fue definido, obtenemos una acción modificada $$S_\theta[A] = \int\mathrm{Tr}_\mathfrak{g}(F\wedge\ast F) + \frac{\mathrm{i}\theta}{8\pi^2}\int\mathrm{Tr}_\mathfrak{g}(F\wedge F)$$ con lo cual podemos soltar la suma y escribir $$Z = \int \mathrm{e}^{-S_\theta[A]}\mathcal{D}A$$ dónde $\mathcal{D}A$ahora abarca todo el espacio de conexiones.

A partir de esto puede seguirse el desarrollo de otras teorías, por ejemplo, ahora se puede tratar de promover la$\theta$a sí mismo a un campo dinámico, entonces llamado el axión en la teoría de Peccei-Quinn .

Sin embargo, hay un problema cuando se intenta hacer esta suma en teorías acopladas a fermiones, que es la aparición de una anomalía cuántica.

1.3 Instantones y anomalías cuánticas

Consideramos una teoría de campos de fermiones cuánticos acoplada a un fondo de campo de calibre clásico (es decir, un instanten)

$$S_\text{Dirac}[\psi,A] = \bar\psi (\mathrm{i}D - m)\psi - \frac{1}{4}F\wedge\ast F$$ dónde $D$es el operador de Dirac $D = D_\mu\gamma^\mu$con $D_\mu$la derivada covariante perteneciente a $A$y $\gamma^\mu$las matrices gamma habituales que actúan sobre los espinores $\psi$. nos gustaría escribir $$Z[A] = \int\mathcal{D}\psi\mathcal{D}\bar\psi \mathrm{e}^{-S_\text{Dirac}[\psi,A]}$$ pero hay un problema con la definición habitual de $\mathcal{D}\psi\mathcal{D}\bar\psi$en términos de un límite de integraciones sobre los modos del campo. Vea esta respuesta mía para la definición y regularización de la medida y esta respuesta mía para saber cómo, al final, la anomalía, es decir, el problema de definir la medida de manera invariable bajo transformaciones de gran calibre, se relaciona con el índice de $D$, que por el teorema del índice de Atiyah-Singer está estrechamente relacionado con el número de instantón $k$como la clase Chern.

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^{1 En realidad, consideramos la llamada acción euclidiana , a la que la acción real está relacionada por la rotación de Wick}

^{2 Perturbativamente, los estados que pertenecen a sectores tan diferentes no están relacionados, pero con la teoría de los instantones, se puede ver que hay amplitudes no perturbativas entre ellos, vea esta respuesta mía}

^{3 Puede haber varios instantes con el mismo número, entonces la suma es sobre cada uno de ellos (ya que en general no se garantiza que estén relacionados por una transformación de calibre)}

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2. Invariantes de Donaldson

^{Esta sección intenta ser un breve recuento de la "Teoría del campo cuántico topológico" de Witten.}

2.1 torcido$\mathcal{N}=2$teoría supersimétrica de Yang-Mills

El entorno físico en el que aparecerán las invariantes de Donaldson es una teoría de Yang-Mills que vive en la variedad de cuatro dimensiones.$M$acoplado a ciertos campos de tal manera que la acción total goza de una supersimetría. La acción de esta teoría parece ciertamente horrible:

$$S_\text{SYM} = \int_M \mathrm{Tr}_\mathfrak{g}\left(\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} + \frac{1}{4}F_{\mu\nu}(\ast F)^{\mu\nu} + \frac{1}{2}\phi D_\mu D^\mu \lambda - \mathrm{i}\eta D_\mu \psi^\mu + \mathrm{i}D_\mu\psi_\nu \chi^{\mu\nu} - \frac{\mathrm{i}}{8}\phi[\chi_{\mu\nu},\chi^{\mu\nu}] - \frac{\mathrm{i}}{2}\lambda[\psi_\mu,\psi^\mu] - \frac{\mathrm{i}}{2}\phi[\eta,\eta] - \frac{1}{8}[\phi,\lambda]^2 \right)\sqrt{g}\mathrm{d}^4 x$$ Aquí $D_\mu = \nabla_\mu + [A_\mu,\dot{}]$es la derivada covariante de calibre (con $\nabla$la derivada covariante de Riemann ordinaria) y todos los campos son $\mathfrak{g}$-valorado. Hay un $\mathbb{Z}_2$-clasificación en el espacio de campos, donde llamamos a las diferentes clases "bosónicas" (o pares) y "fermiónicas" (o impares). Los campos bosónicos son $\phi,\lambda$, los fermiónicos son $\eta,\psi,\chi$, y $\chi$está además restringido a ser autodual. Esta acción es invariante bajo la simetría infinitesimal $$\begin{align} \delta_\epsilon A = \mathrm{i}\epsilon\psi \quad \delta_\epsilon\phi = 0 \quad \delta_\epsilon\lambda = 2\mathrm{i}\epsilon\eta \\ \delta_\epsilon\psi = -\epsilon D\phi \quad \delta_\epsilon\eta = \frac{1}{2}\epsilon[\phi,\lambda] \quad \delta_\epsilon \chi = \epsilon(F + \ast F) \tag{1} \end{align}$$ con $\epsilon$un parámetro infinitesimal fermiónico. Como con todas las transformaciones, pensamos que esta tiene un generador, su supercarga, $Q$, que da todas las transformaciones como $\delta \alpha = -\mathrm{i}\epsilon Q(\alpha)$dónde $\alpha$es cualquier campo. En una formulación hamiltoniana, $Q(\alpha)$seria el corchete de poisson $\{Q,\alpha\}$, pero en una variedad general, no tenemos esa opción. Por cálculo explícito, se encuentra que $$\delta_\epsilon\delta_\zeta X - \delta_\zeta\delta_\epsilon X = -2\mathrm{i}\epsilon\zeta\phi$$ para cada campo $X$excepto $A$, donde es $-D \phi$. Esto se mantiene solo en el caparazón para $\chi$, pero fuera de la cáscara para todos los demás. Por lo tanto, el conmutador de dos de estas transformaciones es una transformación de calibre y, por lo tanto, no tiene impacto físico. En la formulación hamiltoniana, escribiríamos esto $\{Q,Q\} = 0$(transformaciones de calibre de módulo), es decir, $Q$es similar a una carga BRST . La corriente conservada asociada a esta simetría es $$J = \mathrm{Tr}_\mathfrak{g}\left((F_{\mu\nu} + (\ast F)_{\mu\nu})\psi^\nu - \eta D_\mu \phi - D^\nu\phi \chi_{\mu\nu} - \frac{1}{2}\psi_\mu[\lambda,\phi]\right)\mathrm{d}x^\mu$$ donde la conservación significa que $\ast J$está cerrado, por lo que para cualquier homología 3 ciclos $\gamma$, la integral $$Q[\gamma] = \int_\gamma \ast J$$ depende únicamente de la clase de homología de $\gamma$. Además, se puede demostrar que el tensor energía-momento $T_{\mu\nu} = 2 \frac{\delta S_\text{SYM}}{\delta g^{\mu\nu}}$de esta teoría es una transformada infinitesimal $T_{\mu\nu} = \{Q,\lambda_{\mu\nu}\}$por otra expresión fea $\lambda$(ver ecuación de Witten (2.34)).

2.2 Invariantes de Donaldson como integrales de trayectoria

A continuación, la medida integral de trayectoria$\mathcal{D}X$incluye todos los campos, y también pretende tener cocientes las clases de equivalencia de calibre. El objeto genérico que consideramos es el valor esperado (no normalizado) de cualquier observable$\mathcal{O}$, dónde$\mathcal{O}$es cualquier agradable funcional en los campos:

$$Z(\mathcal{O}) = \int \mathcal{O}\mathrm{e}^{-S_\text{SYM}/e^2}\mathcal{D}X$$ Si la transformación de supersimetría no es anómala, tenemos $Z(\{Q,\mathcal{O}\}) = 0$por cada observable. Ahora afirmamos que $Z = Z(1)$es una invariante suave y, en particular, resultará ser una invariante de Donaldson. Para $Z$para ser un invariante suave, debe ser invariante ante cambios en la métrica. El cambio de la acción bajo un cambio de métrica es por definición $\delta S = \frac{1}{2}\int_M \sqrt{g} T_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}$y esto lleva a $$\delta Z(1) = -\frac{1}{e^2}Z(\{Q,\int_M \sqrt{g}\delta g^{\mu\nu}\lambda_{\mu\nu}\}) = 0$$ asi que $Z(1)$es invariante ante cambios de la métrica. De manera similar, es invariante ante cambios de la constante de acoplamiento de calibre $e$, siempre que permanezca distinto de cero. Pero en el límite del acoplamiento pequeño, la integral de trayectoria está fuertemente dominada por los mínimos clásicos de las teorías libres ... ¡y los mínimos clásicos de la teoría de calibre libre son los instantes anti-auto-dual! Los autoduales no son mínimos porque agregamos el topológico $F\wedge F$al lagrangiano. Entonces podemos evaluar $Z$mirando las contribuciones instantáneas. Sin embargo , como en 1.3 anterior, la medida integral de trayectoria no es invariante si los modos cero fermiónicos no coinciden. Las ecuaciones de $\psi$los modos cero resultan ser exactamente la misma ecuación que para una perturbación infinitesimal $\delta A$a una configuración instanton $A$ser un instante: $$D_\mu Y_\nu - D_\nu Y_\mu + \epsilon_{\mu\nu\sigma\rho}D^\sigma Y^\rho \quad\land\quad D_\mu Y^\mu = 0$$ por $Y$o $\delta A$o $\psi$. Pero el número de posibles perturbaciones independientes de un instanten que son nuevamente un instanten es exactamente lo que uno llamaría la dimensión $\dim(\mathcal{M})$del espacio de módulos en el punto $A$si fuera un espacio no singular liso propio, entonces el número de $\psi$cero modos es lo mismo que la dimensión del espacio de módulos de instantones. En general, parece haber un teorema de índice que dice que el número total de modos cero es igual a la dimensión formal del espacio de módulos, pero Witten no da aquí su nombre o aplicación.

Especializándonos en la situación de la pregunta, donde el espacio de módulos instantáneos es discreto y tiene dimensión cero, tenemos que$Z$es un invariante suave. Para un fondo de instantón fijo y en el límite de acoplamiento débil, basta con mirar los términos de orden más bajo en los campos. Esos son términos cuadráticos de la forma$\Phi \Delta \Phi$y$\Psi \mathscr{D} \Psi$dónde$\Delta$es un operador elíptico de segundo orden en los campos bosónicos$\Phi = (A,\phi,\lambda)^T$y$\mathscr{D}$es real de primer orden sesgado-simétrico en los campos fermiónicos$\Psi = (\eta,\psi,\chi)^T$. Esto significa que la integral de trayectoria sobre$\Phi$y$\psi$degenera en una integral de Gauss.

Además, sus valores propios están relacionados por supersimetría: Observando la transformación de supersimetría$(1)$, vemos que las soluciones clásicas$F = -\ast F$y$\phi,\lambda,\eta,\psi,\chi = 0$son invariantes bajo supersimetría, por lo que las excitaciones cuánticas cuando se expanden alrededor de ellas también están relacionadas por supersimetría. Para cada distinto de cero$\lambda$que es un valor propio de$\mathscr{D}$(que vienen en pares ya que es asimétrico), hay un valor propio$\lambda^2$de$\Delta$. ^{Esto se muestra en D'Adda, DiVecchia, "Supersymmetry and instantons"}

Ahora, la integral de trayectoria gaussiana sobre$\int_M \left(\Phi \Delta \Phi + \mathrm{i}\Psi \mathscr{D} \Psi \right)\sqrt{g}$rendimientos$\mathrm{Pf}(\mathscr{D}) / \sqrt{\det(\Delta)}$, y el Pfaffian y el determinante difieren solo por un signo, por lo que esto se convierte en$\pm \prod_i \mathrm{sgn}(\lambda_i)$, donde el producto pasa por todos los valores propios distintos de cero. los$\pm$se debe a que tenemos que elegir una orientación que determina el signo del Pfaffian. Así que elegimos cualquier instante$A_0$y declarar que este producto es$+1$para ello. Ahora, uno elige cualquier otro instanton$A_i$y determina la frecuencia$\mathscr{D}$tiene un valor propio cero a lo largo de la homotopía$A_t = t A_0 + (1-t) A_i$. Cada vez que obtiene un valor propio cero, el signo de$\mathrm{Pf}(\mathscr{D})$se define para cambiar. (Creo que esto es básicamente transportar$\mathscr{D}$a lo largo de la curva$A_t$en el espacio$\mathcal{A}/\mathcal{G}$, dónde$\mathcal{A}$es el espacio de conexiones.) Esto da una forma bien definida de definir el signo del Pfaffian para$A_i$si da el mismo signo independientemente de la homotopía$A_t$es elegido - y dado que la concatenación de dos de ellos da una transformación de$A_0$sobre sí mismo, esto es equivalente al requisito de que el signo no debe cambiar a lo largo de ningún bucle en$\mathcal{A}/\mathcal{G}$basada en$A_0$.

Si se da esto, entonces obtenemos que$Z = \sum_i(-1)^{n_i}$, donde la suma es sobre todos los instantes y la$n_i$se determinan de la manera anterior. Esto es ahora, finalmente, exactamente el mismo invariante definido esquemáticamente como en la pregunta.