Calibre unitario para caso no abeliano

Definitivamente lo hay, y su texto debería haberlo usado para definir el indicador unitario de manera más convencional: la parametrización del elemento del grupo SU(2) de la física, que es la matriz de rotación para los espinores R . Absorba v en la definición de σ , donde pertenece y desde donde puede resurgir a voluntad.

$$R=\exp (i\theta ~\hat{n}\cdot\vec{\sigma})=I \cos \theta +i \hat{n}\cdot\vec{\sigma} \sin \theta= \begin{bmatrix}\cos \theta +i n_3\sin \theta & i\sin \theta (n_1-in_2) \\ i\sin \theta (n_1+in_2) &\cos \theta -i n_3\sin \theta \end{bmatrix}.$$

Es más fácil y, de hecho, más convencional, trabajar hacia atrás,

$$R \begin{bmatrix} 0 \\ \rho\end{bmatrix} =\rho \begin{bmatrix} \sin\theta (i n_1+n_2) \\ \cos\theta -in_3\sin \theta\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\eta_1(x) + i\eta_2(x) \\ \sigma(x) +i \eta_3(x)\end{bmatrix},$$
eso es $$\eta_1=n_2 \rho \sin \theta, \quad \eta_2=n_1 \rho \sin \theta, \quad \eta_3=-n_3 \rho \sin \theta, \quad \sigma= \rho \cos \theta,$$ de modo que $~\rho^2=\sigma^2+\vec{\eta}^2~$y $~\vec{\eta}^2=\rho^2 \sin^2\theta=\sigma^2 \tan^2\theta~$.

Por lo que entonces,$R^{-1}$es el elemento de grupo SU(2) que estaba buscando, con$\theta$y$\hat{n}$solucionable como el anterior. Nota$\rho \neq\sigma$, como buscaste, ¡tan fácil de confirmar a partir del módulo/longitud de los dos espinores respectivos! Su texto estaba siendo ligeramente "metafórico".

Asimismo, el signo de$\eta_3$en su expresión no es convencional: la mayoría de los textos prefieren un signo menos e intercambian los roles de$\eta_1$y$\eta_2$, para (solo) luego tener

$$(I \sigma+i~\vec{\eta}\cdot\vec{\sigma}) \begin{bmatrix} 0 \\ 1\end{bmatrix} .$$