Operaciones en formas valoradas de álgebra de Lie en un paquete principal

Estoy tratando de entender algo de la teoría de Yang-Mills y Chern-Simons, pero algunas matemáticas me hacen tropezar.

Estoy confundido acerca de la derivada covariante exterior de las formas k valoradas en álgebra de Lie en un paquete principal P . En particular, entiendo la derivación realizada en la sección 2.2.2 de https://empg.maths.ed.ac.uk/Activities/GT/Lect2.pdf , pero no puedo generalizar a las formas k (Ejercicio 2.5 de la misma sección) y entender el caso donde V es el álgebra de Lie de G donde la cuña es reemplazada por un conmutador.

Además, parece haber diferentes convenciones (?) para el coeficiente frente al segundo término de la derivada covariante exterior. A veces veo un factor de 1/2 (por ejemplo, en la sección 3.2.2 de https://empg.maths.ed.ac.uk/Activities/GT/Lect3.pdf ) y otros lugares sin él. Creo que mi comprensión tiene que ver con conmutadores y productos de cuña de formas valoradas de álgebra de Lie, pero podría estar equivocado. ¿Podría alguien explicar y tal vez identificar mis malentendidos?

(Busqué en Nakahara, pero su sección sobre conexiones en un paquete principal no respondió mi pregunta).

EDITAR: Creo que he logrado reducir mi confusión. En el primer conjunto de notas (Lección 2), derivan una ecuación para la derivada covariante exterior de la forma de conexión (proposición 2.1), así como la derivada covariante exterior de una forma vectorial (ejercicio 2.5). Tengo entendido que el resultado de la proposición 2.1 debería ser un caso especial del ejercicio 2.5, siendo la acción del álgebra de Lie la de la conjugación (conmutador), pero hay un factor de 1/2 en el primero. ¿Alguien me puede explicar este punto?

Respuestas (1)

Hay dos formas razonables de definir el producto cuña de formas. Una es decir que

α ∧ β ( X , Y ) = 1 2 ( α ( X ) β ( Y ) − α ( Y ) β ( X ) )
mientras que el otro no incluye este factor de 1 2
α ∧ β ( X , Y ) = α ( X ) β ( Y ) − α ( Y ) β ( X ) .
Aquí, α y β son formas 1 y X y Y son campos vectoriales. Parece que estas notas están usando la convención anterior cuando el " ∧ " está explícitamente escrito (de modo que
( ρ ( ω ) ∧ ω ) ( X , Y ) = 1 2 ( [ ω ( X ) , ω ( Y ) ] − [ ω ( Y ) , ω ( X ) ] ) = [ ω ( X ) , ω ( Y ) ]
en el ejercicio 2.5) mientras se pone el 1 2 en manualmente en la notación de prop 2.1
1 2 [ ω , ω ] ( X , Y ) = 1 2 ( [ ω ( X ) , ω ( Y ) ] − [ ω ( Y ) , ω ( X ) ] ) = [ ω ( X ) , ω ( Y ) ] .
Una posible motivación para esta convención es que, debido a la antisimetría tanto del producto de la cuña como del soporte de Lie, la combinación de los dos es en realidad simétrica:
[ α , β ] = [ β , α ]
dónde α y β son ambas formas valoradas del álgebra de Lie en PAG . Muchas veces, cuando insertamos el mismo argumento en ambas ranuras de una operación simétrica como esta, es conveniente tener el factor de 1 2 por varias razones. Posiblemente la notación está ahí para enfatizar este tipo de comportamiento de la operación de "soporte y cuña".

Una última cosa: no es estrictamente cierto que 2.1 sea un caso especial de 2.5 ya que la derivada covariante tal como se define solo debe aplicarse a formas básicas (que son, en particular, horizontales) mientras que ω está lo más lejos posible de ser horizontal ( h ∗ ω = 0 ). Al tratar todo como formas en PAG , estos detalles realmente no importan, pero si quieres asociar las formas básicas con ciertas formas en la variedad (ver 2.2.1), entonces las dos ecuaciones que mencionas son cosas bastante diferentes. Es importante para la historia que la conexión que uno forma ω no puede ser pensado como cualquier tipo de forma global en METRO . En cambio, se transforma como debería hacerlo una conexión (esto se menciona en la lección 1 de esta serie).

¡Muchas gracias por su respuesta! No estoy seguro acerca de su convención para productos de cuña, pero su último párrafo me ayudó a aclararme las cosas. No me di cuenta de que estaba destinado a aplicar formas horizontales e invariantes. Vi que el retroceso de la forma de conexión satisfizo la propiedad invariante y salté a conclusiones. Revisaré las derivaciones nuevamente para verificar la convención y publicar una actualización cuando lo haga.
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