Grupo conforme en 2D siendo un subgrupo de Diff x Weyl - 'Teoría de cuerdas' de Polchinksi

Estoy tratando de entender cómo el grupo conforme en dos dimensiones es un subgrupo del producto directo del grupo de difeomorfismo y el grupo de transformaciones de Weyl, como lo explica Polchinski en 'Teoría de cuerdas', Volumen 1.

Ahora, en el apéndice de la página 364 del libro, Polchinski define el grupo conforme (Conf) en dos dimensiones como el conjunto de todos los mapas holomorfos. En la página 85 se da la explicación antes mencionada de cómo Conf es un subgrupo del producto directo del grupo difeomorfismo (diff) y el grupo de transformaciones de Weyl (Weyl), denotado como (diff × Weyl) (aquí, los difeomorfismos se refieren a transformaciones de coordenadas generales, y las transformaciones de Weyl son reescalados de la métrica dependientes del punto).

Esto es lo que entiendo de su explicación hasta ahora. Conf es un subgrupo de diff, ya que podemos elegir la función de transformación, F ser holomorfo ( F ( z ) ). Esto transforma la métrica plana ( d s 2 = d z d z ¯ ) como en la ecuación (2.4.10) de Polchinski, es decir,

d s ′ 2 = d z ′ d z ¯ ′ = ∂ z ′ ∂ z ∂ z ¯ ′ ∂ z ¯ d z d z ¯ ,
dónde z ′ = F ( z ) .

Por otro lado, existen transformaciones de Weyl que se pueden usar para efectuar la misma transformación dada anteriormente, es decir, cambiamos la escala de la métrica plana d s 2 = d z d z ¯ por mi 2 ω , dónde

ω = en | ∂ z F | ,
lo que da
d s ′ 2 = mi 2 ω d z d z ¯ = mi 2 en | ∂ z F | d z d z ¯ = | ∂ z F | 2 d z d z ¯ = ∂ z ′ ∂ z ∂ z ¯ ′ ∂ z ¯ d z d z ¯ ,
que es lo mismo que la primera ecuación anterior.

Ahora, entendiendo ingenuamente que esto implica que conf es un subgrupo de Weyl, llegamos a la afirmación, que es conf es un subgrupo de diff × Weyl, que es lo que queríamos mostrar. Sin embargo, (como se indica en los comentarios a continuación) el grupo conforme no puede ser un subgrupo de Weyl, ya que las transformaciones se componen de manera diferente. Entonces, ¿cómo podemos decir que conf es un subgrupo de diff? × Weyl?

Anexo: No puede ser cierto que conf en este caso sea un subgrupo de diff × Weyl como una extensión trivial de conf siendo un subgrupo de diff, ya que Polchinski usó transformaciones de Weyl no triviales en su prueba.

Además, en la página 542 de 'Geometría, topología y física' de Nakahara, se explica que los vectores de Killing conformes que generan transformaciones conformes se identifican con la superposición entre diff y Weyl. También muestran esto eligiendo una forma específica para la función de Weyl, ω .

1. El grupo de Weyl no significa lo que crees que significa. 2. No entiendo cómo piensa que el hecho de que el efecto de las transformaciones conformes en la métrica pueda ser anulado por las transformaciones de Weyl implica que son un subconjunto de las transformaciones de Weyl, que explícitamente solo actúan sobre la métrica, mientras que una transformación de conformación es siempre una transformación de coordenadas/difeomorfismo por definición.
Entiendo que las transformaciones conformes son transformaciones de coordenadas, mientras que las transformaciones de Weyl son reescalados locales de la métrica. Mi punto es, ¿por qué decir que las transformaciones conformes son un subgrupo de diff x Weyl, cuando son un subgrupo de diff solo, como dices?
Si H ⊂ GRAMO es un subgrupo, entonces H × { 1 } ⊂ GRAMO × k es un subgrupo de GRAMO × k a pesar de k .
Como se explica en la página 542 de Geometría, topología y física de Nakahara, los vectores de destrucción conforme que generan el grupo conforme pueden identificarse con la SUPERPOSICIÓN de Diff_0 y Weyl, por lo tanto, es muy poco probable que Weyl desempeñe un papel trivial aquí.
Las transformaciones conformes son transformaciones de coordenadas y, como tales, son una simetría de la teoría que son invariantes bajo las transformaciones de coordenadas generales. Por otro lado, si considera una teoría sobre una métrica de fondo fija, estas transformaciones conformes no serán una simetría. Para que este sea el caso, necesita más: necesita que la teoría invariante del difeomorfismo original sea invariante bajo la simetría de Weyl. Esto le permite compensar la transformación de la métrica de fondo y, como consecuencia, obtener una invariancia de la acción solo en términos de simetrías de espacio-tiempo.
Sugeriría estos dos documentos que brindan información interesante sobre estas preguntas: hep-th/9607110, 1510.08042.
Si bien las transformaciones de Weyl son conceptualmente diferentes de las transformaciones conformes, uno puede identificar un subconjunto de transformaciones de Weyl con transformaciones conformes; observe que para que w poder escribirse como Iniciar sesión ⁡ | ∂ z F | , w tiene que ser armónico. Por otra parte, las transformaciones conformes sólo pueden dar lugar a mi 2 w con armónico w . Con esta identificación, se piensa en las transformaciones conformes como un subgrupo como transformaciones de Weyl.
@ACuriousMind En este caso, la imagen debería ser esa H se define como un subgrupo de GRAMO pero es isomorfo a un subgrupo de k .
@ user110373 Estoy de acuerdo con esto, lo que me lleva de vuelta a mi pregunta original, ¿por qué la discrepancia con la declaración de Lubos Motl?
@Harold Luego, hay una inconsistencia en las definiciones de Polchinski, por un lado, el grupo conforme incluye reparametrizaciones holomorfas junto con transformaciones de Weyl que conservan la unidad métrica, por otro lado, también lo define como el conjunto de todas las reparametrizaciones holomorfas. Voy a echar un vistazo a las referencias, gracias.
@Mtheorist Me di cuenta de que dije una declaración incorrecta: si bien es cierto que las transformaciones conformes se pueden identificar como un subconjunto de las transformaciones de Weyl, no es un subgrupo. Componen diferente. Además, no hay discrepancia con la declaración de Lubos Motl, ya que no afirmó que no haya un mapa que identifique las transformaciones conformes como transformaciones de Weyl. Por definición, las transformaciones conformes no son transformaciones de Weyl.
@ACuriousMind Ignore mi comentario anterior.
@Harold De su referencia, arxiv.org/abs/1510.08042 , se menciona en la página 2 que 'Está claro que la invariancia de Weyl implica invariancia conforme, pero no al revés...'. Entonces parece que las transformaciones conformes son de hecho un subconjunto de las transformaciones de Weyl, como también ha afirmado el usuario 110373.
@Mtheorist La distinción es similar a la que existe entre el cambio de matriz de coordenadas y el automorfismo del espacio vectorial representado por la misma matriz en alguna coordenada.
@ user110373 Bien, creo que has respondido la pregunta. Las transformaciones de Weyl se pueden identificar como un SUBCONJUNTO pero no como un SUBGRUPO de transformaciones conformes, ya que la ley de composición es diferente. Espero que pueda responder la pregunta, con suerte con un poco más de detalles matemáticos para mayor claridad, una vez que esta pregunta ya no esté "en espera".
@Mtheorist: no entiendo esta oración de esta manera: las transformaciones de Weyl son útiles para obtener una teoría conforme a partir de una teoría invariante de difeomorfismo, pero la teoría conforme se puede construir de formas más generales. En particular, las transformaciones de Weyl no pueden ser un subconjunto de las transformaciones conformes ya que las últimas son transformaciones de coordenadas mientras que las primeras no lo son. De alguna manera puedes entender las transformaciones conformes como las isometrías de una teoría difeo invariante hasta las transformaciones de Weyl.
@Harold, he editado la pregunta, creo que ahora se puede ver que al menos se pueden asignar ciertas transformaciones de Weyl a transformaciones conformes, aunque las transformaciones de Weyl no pueden ser un subconjunto de transformaciones conformes debido a su diferente origen, como usted dice.
Posibles duplicados: physics.stackexchange.com/q/38138/2451 y enlaces allí.
@Mtheorist Esto se ha abierto ahora, solicite las respuestas de comentarios para responder como respuestas.
@ usuario110373 por favor responda la pregunta, la pregunta ha sido abierta
@Harold por favor responde la pregunta, la pregunta ha sido abierta

Respuestas (1)

(Esto es básicamente lo que se ha dicho en los comentarios con más detalles).

Creo que la confusión proviene del hecho de que define una transformación conforme como una transformación de la métrica hasta un factor de escala. De hecho, la definición completa incluye que este factor de escala aparece cambiando las coordenadas (después de lo cual la métrica cambia como un tensor). Por otro lado, una transformación de Weyl transforma solo la métrica y no las coordenadas, por lo que no puede ser una transformación conforme.

Ahora una palabra sobre la relación entre las simetrías conforme y de Weyl. Las transformaciones conformes son transformaciones de coordenadas y, como tales, son una simetría de la teoría que son invariantes bajo las transformaciones de coordenadas generales. Por otro lado, si considera una teoría sobre una métrica de fondo fija (por ejemplo, plana), estas transformaciones conformes no serán una simetría. Para que este sea el caso, necesita más: necesita que la teoría invariante del difeomorfismo original sea invariante bajo la simetría de Weyl. Esto le permite compensar la transformación de la métrica de fondo (ya que ya no es un campo dinámico) y, como consecuencia, obtener una invariancia de la acción solo en términos de simetrías de espacio-tiempo (que son básicamente isometrías hasta reescalados de Weyl). (Tenga en cuenta que lo contrario no es cierto: la invariancia conforme no implica necesariamente la invariancia de Weyl). Las transformaciones de Weyl son útiles para obtener una teoría conforme a partir de una teoría invariante de difeomorfismo, pero allí la teoría conforme se puede construir de formas más generales. En particular, las transformaciones de Weyl no pueden ser un subconjunto de las transformaciones conformes ya que las últimas son transformaciones de coordenadas mientras que las primeras no lo son. De alguna manera puedes entender las transformaciones conformes como las isometrías de una teoría difeo invariante hasta las transformaciones de Weyl. En particular, las transformaciones de Weyl no pueden ser un subconjunto de las transformaciones conformes ya que las últimas son transformaciones de coordenadas mientras que las primeras no lo son. De alguna manera puedes entender las transformaciones conformes como las isometrías de una teoría difeo invariante hasta las transformaciones de Weyl. En particular, las transformaciones de Weyl no pueden ser un subconjunto de las transformaciones conformes ya que las últimas son transformaciones de coordenadas mientras que las primeras no lo son. De alguna manera puedes entender las transformaciones conformes como las isometrías de una teoría difeo invariante hasta las transformaciones de Weyl.

En cuanto a la discusión de Polchinski, creo que el problema es el siguiente. La discusión tiene lugar en el contexto de la fijación de calibres. El calibre se fija mediante difeomorfismos y transformaciones de Weyl. Esto introduce una nueva métrica, plana aquí. Luego se pregunta qué transformaciones para esta nueva métrica mantienen la misma forma. Dado que se ha obtenido utilizando difeo y Weyl, la respuesta es: una mezcla de ambos. Esto es lo que expliqué en el párrafo anterior. El hecho de que aborde un caso muy especial hace que el problema sea más confuso. Para una teoría general de 2d, solo se tiene difeo y el calibre conforme se fija hasta el factor conforme. Entonces es más sencillo entender lo que está pasando.

Sugeriría estos dos documentos que brindan información interesante sobre estas preguntas: hep-th/9607110 , 1510.08042 .

Grupo conforme en 2D siendo un subgrupo de Diff x Weyl - 'Teoría de cuerdas' de Polchinksi
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