Difeomorfismo y transformaciones de Weyl en la hoja de mundo 2D de la teoría de cuerdas y la existencia de calibre conforme

Question

Difeomorfismo y transformaciones de Weyl en la hoja de mundo 2D de la teoría de cuerdas y la existencia de calibre conforme

Física
tensor-métrico
teoria de las cuerdas
geometría diferencial
teoría del campo conforme
difeomorfismo-invariancia

Partículas en colisión

Las notas de D. Tong sobre teoría de cuerdas , capítulo 5 ( PDF ), presentan lo siguiente al presentar las simetrías utilizadas en el método Faddeev-Popov:

Tenemos dos simetrías de calibre: difeomorfismos y transformaciones de Weyl. Denotaremos esquemáticamente a ambos por $\zeta$ . El cambio de la métrica bajo una transformación de calibre general es $g \rightarrow g^{\zeta}$ . Esta es la abreviatura de,
${gramo}_{α β} (σ) \to {gramo}_{α β}^{ζ} (σ) = {mi}^{2 ω (σ)} \frac{\partial σ^{γ}}{\partial σ^{' α}} \frac{\partial σ^{d}}{\partial σ^{' β}} {gramo}_{γ d} (σ)$ $\begin{equation} g_{\alpha \beta} (\sigma) \rightarrow g_{\alpha \beta}^{\zeta} (\sigma)= e^{2\omega (\sigma)} \frac{\partial \sigma^{\gamma}}{\partial \sigma'^{\alpha}} \frac{\partial \sigma^{\delta}}{\partial \sigma'^{\beta}} g_{\gamma \delta} (\sigma) \end{equation}$ En dos dimensiones, estas simetrías de calibre nos permiten poner la métrica en cualquier forma que nos guste, digamos, $\hat{g}$ . Esto se llama la métrica fiduciaria y representará nuestra elección de fijación de calibre.

¿Hay una prueba disponible que muestre que la simetría combinada nos permite "poner la métrica en cualquier forma (localmente, por supuesto)?" ¿Esta propiedad está restringida a dos dimensiones?

Respuestas (1)

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qmecanico · Answer 1

Teorema. Cada variedad pseudo-Riemanniana 2D $(M,g)$ es conformemente plana , es decir, existen coordenadas isotérmicas localmente . $^1$

Demostración esbozada del teorema: Dado un punto $p\in M$ . Considere las coordenadas locales $u,v$ en un barrio de $p$ .

Caso genérico $g_{uu}(p)\neq 0$ : Hacer una escala de Weyl tal que $g_{uu}\equiv 1$ . Entonces $\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} gramo = & d tu ⊙ d tu + 2 {gramo}_{tu v} d tu ⊙ d v + 2 {gramo}_{v v} d v ⊙ d v \\ \overset{(2)}{=} & ω_{+} ⊙ ω_{-}, \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align}g~=~&\mathrm{d}u\odot \mathrm{d}u + 2g_{uv}\mathrm{d}u\odot \mathrm{d}v + 2g_{vv}\mathrm{d}v\odot \mathrm{d}v\cr ~\stackrel{(2)}{=}~&\omega_+\odot \omega_-,\end{align}\tag{1}$ donde hemos definido 2 formas únicas que no desaparecen $\begin{matrix} (2) & ω_{\pm} := d tu + [{gramo}_{tu v} \pm \sqrt{- det (gramo)}] d v . \end{matrix}$ $\omega_{\pm}~:=~\mathrm{d}u + [g_{uv} \pm \sqrt{-\det(g)}]\mathrm{d}v. \tag{2}$

caso minkowskiano $\det(g)<0$ : Entonces las formas uno $\omega_{\pm}$ Son reales. Existen localmente 2 factores integrantes reales $\lambda_{\pm}\neq 0$ tal que
$\begin{matrix} (3) & ω_{\pm} = λ_{\pm} d X^{\pm} . \end{matrix}$ $\omega_{\pm} ~=~\lambda_{\pm}\mathrm{d}x^{\pm}.\tag{3}$ Entonces el tensor métrico (1) se lee $\begin{matrix} (4) & gramo \overset{(1) + (3)}{=} λ_{+} λ_{-} d X^{+} ⊙ d X^{-} . \end{matrix}$ $g~\stackrel{(1)+(3)}{=}~\lambda_+\lambda_-\mathrm{d}x^+\odot \mathrm{d}x^-.\tag{4}$ Una escala de Weyl trae la métrica en forma de cono de luz . $\Box$
caso euclidiano $\det(g)>0$ : Entonces la forma única $\omega_{\pm}~=~\omega^{\ast}_{\mp}$ es complejo. Existe localmente un factor integrador complejo $\lambda_+\neq 0$ tal que
$\begin{matrix} (5) & \begin{aligned} ω_{+} = & λ_{+} d z, \\ z = & X + i y, \\ ω_{-} = & ω_{+}^{*} = λ_{+}^{*} d z^{*} . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align}\omega_+ ~=~&\lambda_+\mathrm{d}z, \cr z ~=~&x+iy, \cr \omega_- ~=~&\omega^{\ast}_+ ~=~\lambda^{\ast}_+\mathrm{d}z^{\ast}.\end{align}\tag{5}$
Entonces el tensor métrico (1) se lee $\begin{matrix} (6) & \begin{aligned} gramo \overset{(1) + (5)}{=} & | λ_{+} |^{2} d z ⊙ d z^{*} \\ = & | λ_{+} |^{2} [d X ⊙ d X + d y ⊙ d y], \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align}g~\stackrel{(1)+(5)}{=}&~|\lambda_+|^2\mathrm{d}z\odot \mathrm{d}z^{\ast}\cr ~=~&|\lambda_+|^2[\mathrm{d}x\odot \mathrm{d}x+\mathrm{d}y\odot \mathrm{d}y],\end{align}\tag{6}$ que de nuevo es manifiestamente real. Una escala de Weyl lleva la métrica a la forma euclidiana estándar. $\Box$

Caso especial $g_{uu}(p)=0$ :

caso euclidiano $\det(g)>0$ : Imposible. $\Box$
caso minkowskiano $\det(g)<0$ : Entonces $g_{uv}(p)\neq 0$ . En el procedimiento de eliminación de Gauss (si tuviéramos que traer $g$ en forma diagonal) esto corresponde a un caso de elemento diagonal que se desvanece. Es posible realizar una transformación de coordenadas afines $(u,v) \to (u^{\prime},v^{\prime})$ de modo que $g_{u^{\prime}u^{\prime}}(p)\neq 0$ . Ahora usa el caso genérico. $\Box$

Referencias:

M. Nakahara, Geometría, Topología y Física, 1989; Ejemplo 7.32.
M. Nakahara, Geometría, Topología y Física, 2003; Ejemplo 7.9.

--

$^1$ Y sí, el teorema no es cierto en dimensiones superiores, cf. por ejemplo, esta publicación Phys.SE relacionada.

Notas para más tarde. 1. Dada una forma única real que no se desvanece $\omega = f\mathrm{d}x+g\mathrm{d}y$ . Existencia de factor integrante real $\lambda$ tal que $\mathrm{d}(\lambda\omega)=0$ . $\quad (g\partial_x-f\partial_y)\ln\lambda=\partial_yf-\partial_xg$ PDE lineal de primer orden. 2. Dado un complejo de una sola forma que no se desvanece $\omega = f\mathrm{d}z+g\mathrm{d}\bar{z}$ . Existencia de factor integrante complejo $\lambda$ tal que $\mathrm{d}(\lambda\omega)=0$ . Vista $z$ y $\bar{z}$ como variables complejas independientes, y esencialmente proceder como en el caso real.

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