Cuerdas topológicas: ¿Por qué la estructura compleja de T2T2T^2 se denota como ττ\tau en la teoría de cuerdas?

Intentaré responder con muy poca experiencia en teoría de cuerdas, porque sus preguntas parecen estar orientadas hacia este caso básico en lugar de la teoría en general.

1. Primero, una corrección. En la página 7 de ese artículo, define$A=iR_1R_2$, no$R_1/R_2$. Entonces, como el toro es plano,$A$es$i$veces el área habitual$R_1R_2$.

2. Como dices, una estructura compleja es un mapa.$J$tal que$J^2=-1$. Viene de pensar en la estructura compleja en$\mathbb{C}$, dónde$iz=i(x+iy)=-y+ix$, por lo que intercambia los roles de las dos coordenadas. Si el toro es una región rectangular de$\mathbb{C}$con los lados opuestos identificados, la estructura compleja es una "rotación+volteo" y cambia la apariencia del rectángulo. Desde$\tau$es la razón de los dos lados del rectángulo, nos dice algo sobre la forma del toro [algo de claridad a continuación].

3. El toro es una variedad CY en 1 dimensión, por lo que la simetría$A\leftrightarrow\tau$es un mapa entre dos variedades CY. Él equipara esto con la dualidad T.$A\leftrightarrow 1/A$, que está estrechamente relacionado con la simetría especular.

4. Bueno, para ser claros, estamos hablando de las métricas torus , que están completamente especificadas por$R_1$y$R_2$. (Esto no es lo mismo que "el espacio de módulos de$\mathbb{T}^2$" porque eso significaría más o menos estructura, según el contexto. Para un topólogo, el espacio de módulos de tori es de dimensión 0, ya que solo hay una superficie topológica 2d con género 1). Eso significa simplemente$A$no lo cortaría - habría pares$(R_1,R_2)$con el mismo$A$pero diferentes tamaños. si incluyes$\tau$(linealmente independiente de$A$), entonces puedes romper esa degeneración. Entonces, el espacio de módulos está parametrizado por el par$(R_1,R_2)$o$(A,\tau)$. (Él dice que para toros más generales necesitas considerar partes reales para$A$y$\tau$, por lo que el espacio de módulos sería mayor).

[Algo de claridad] En caso de que no haya quedado claro, considere la compleja estructura de$\mathbb{C}$, la unidad imaginaria$i$. Su acción en los bordes es

$(R_1,R_2)\rightarrow (-R_2,R_1)$

Entonces, ¿qué sucede con$A$y$\tau$debajo de este mapa?

Entonces$A$no nos dice nada sobre la estructura compleja, porque debajo de ese mapa solo obtenemos$A\rightarrow -A$. Sin embargo,$\tau\rightarrow -1/\tau$, entonces$\tau$dice "cuán ancho" y "cuán largo" es el toro (al menos, la proporción de estos), que es la estructura compleja.

No conozco la teoría de cuerdas, pero sé sobre estructuras complejas en 2-tori, también conocidas como curvas elípticas complejas . La mayoría de sus preguntas fueron respondidas por Levitopher, solo explicaré un poco esa parte. El espacio de todas las estructuras complejas en un toro topológico se denomina espacio de módulos de curvas elípticas. Esto significa que los puntos de este espacio corresponden exactamente a clases de isomorfismo de curvas elípticas, donde dos curvas elípticas son isomorfas si existe un mapeo biholomórfico entre ellas (típicamente se destaca un punto que debe ser respetado por el mapeo, pero eso no es así). importante).

Se puede demostrar que toda estructura compleja sobre un toro se obtiene como cociente del plano complejo módulo una red, es decir, un subgrupo discreto de rango dos del plano, actuando por traslación: enrollas el plano en dos direcciones independientes. Un isomorfismo es una multiplicación por un número complejo que induce una biyección en estas redes.

Ahora deja$R_1,R_2$ser dos generadores de su red, por lo tanto, dos números complejos. Supongo que en la primera parte del ejemplo los autores están pensando en dos generadores perpendiculares$R_1$y$iR_2$. En general, la multiplicación por un número complejo (distinto de cero) no cambia la clase de isomorfismo del toro complejo correspondiente, lo usamos para escalar uno de los generadores a 1, y obtenemos una red generada por$1, R_2/R_1$. Convencionalmente, esta escala se realiza de tal manera que$\tau$tiene parte imaginaria positiva. El radio$R_2/R_1$a menudo se denota$\tau$.

Ahora dos toros complejos que tienen el mismo$\tau$tienen estructuras complejas equivalentes, pero lo contrario aún no se cumple. Creo que lo que tenemos ahora es el espacio de Teichmüller , que es fácil como un espacio en sí mismo, a saber, el semiplano superior complejo, pero cuya interpretación de módulos es más técnica, a saber, de estructuras complejas en el toro hasta solo algunos isomorfismos complejos (es decir, aquellos isotópico a la identidad). Para ir al espacio de módulos real de estructuras complejas, debe factorizar celosías equivalentes: por ejemplo$1, \tau + 1$genera la misma red, y$\tau + 1$corresponde a la misma estructura compleja que$\tau$. Esto es esencialmente un cambio de base, y todas las bases se obtienen aplicando elementos de$SL_2(\Bbb Z)$a un conjunto dado de generadores. Tenga en cuenta que esto se traduce directamente en una acción en$\tau$por transformaciones de Möbius :

El cociente del semiplano superior complejo (con coordenada$\tau$) bajo la acción de$SL_2(\Bbb Z)$es exactamente el espacio de módulos de estructuras complejas en un toro topológico.