¿Cómo calculo la probabilidad de que el oscilador esté en cierto estado usando la función de partición?

Su cálculo me parece bien (técnicamente, su función de partición debería tener un factor adicional de$e^{-\frac 12 \beta\hbar\omega}$, pero esto no es importante, ya que cancela en todos los observables).

Editar: como en el comentario de abcXYZ, la probabilidad de encontrar el sistema en un estado correspondiente a cualquier valor impar de$n$es

$$P(n~\text{is odd}) = (1-x)(x + x^3 + \ldots + x^{2k-1} + \ldots) = \frac{(1-x)x}{1-x^2} = \frac{x}{1+x}$$ dónde $x = e^{-\beta\hbar\omega}$. Para dar cierta confianza de que esta es de hecho la respuesta correcta, podemos verificar algunos límites:

• En$T=0$, esperamos que el oscilador esté en su estado fundamental y, por lo tanto,$n$no puede ser raro.$T=0$corresponde a$\beta = \infty$, y por lo tanto$x=0$, que de hecho da$P=0$en nuestra fórmula.
• Como$T \to \infty$, esperamos que el oscilador se extienda sobre todos los estados propios de energía y, por lo tanto, las probabilidades de$n$ser impar o par ser igual. Y de hecho,$T \to \infty$corresponde a$x \to 1$, para lo cual nuestra fórmula da$P \to \frac 12$.

Es un buen hábito hacer este tipo de controles simples en cualquier fórmula que obtenga.

Dada su función de partición, puede usar un enfoque heurístico como en la otra respuesta, pero si quiere calcularlo, entonces quiere construir el operador de densidad$\rho$para su sistema y luego encontrar probabilidades a través de

$$\mathcal{P}_n = Tr(\rho P_n)$$

dónde$P_n$es el operador de proyección de la$n^{th}$estado puro

Esta es una pregunta muy similar que respondí recientemente. Aquí hay una buena introducción a la física estadística cuántica que detalla las propiedades de$\rho$. La última página de este artículo muestra cómo derivar analíticamente la función de partición.