Indistinguibilidad en mecánica estadística

Tengo dos preguntas sobre el uso del concepto de indistinguibilidad para determinar la función de partición en mecánica estadística, como por ejemplo al determinar la función de partición de un gas ideal.

1: ¿Por qué asumimos que las partículas en el gas son indistinguibles? En QM, un conjunto de N partículas son indistinguibles solo si su función de onda combinada es simétrica (bosones) o antisimétrica (fermiones) bajo el intercambio de dos partículas. ¿Por qué hacemos esta suposición para la función de onda combinada de las partículas en el gas (cuyas funciones de onda de partículas individuales están dadas por las soluciones al problema de la partícula en una caja 3D, como de costumbre)?

2: Se encontró que si el número de posibles estados de una sola partícula a baja energía es mucho mayor que el número de partículas, entonces puede aproximar la función de partición introduciendo un factor de 1/(N!) (donde N es el número de partículas) para tener en cuenta la indistinguibilidad de las partículas. Esto se debe a que la mayoría de los estados del sistema serán tales que todas las partículas se encuentran en distintos niveles de energía. Pero si asumimos que las partículas son fermiones, entonces seguramente las partículas TIENEN que estar en diferentes estados (debido al principio de exclusión de Pauli), lo que significa que introducir el factor 1/(N!) es exacto (y no solo una aproximación)?

Hola, traté de responder a tu primera pregunta. Creo que deberías publicar una pregunta separada para la segunda parte, no estoy seguro en qué contexto has visto esta aproximación y deberías agregar más detalles, tal vez una referencia donde la hayas visto :)
@ user2723984 Estoy hablando de cómo se calcula la función de partición para un gas ideal. En el modelo clásico con partículas distinguibles, la función de partición del sistema se puede encontrar multiplicando las funciones de partición de una sola partícula. En el caso de la indistinguibilidad, se introduce un factor adicional de 1/(N!) a la función de partición clásica (la que viene dada por el producto de las funciones de partición de una sola partícula).
@ user2723984 Estoy usando mis libros de stat mech como referencia, pero si vas a las "funciones de partición de los subsistemas" en este artículo de Wikipeida, entonces hablan de lo mismo: en.wikipedia.org/wiki/…

Respuestas (2)

1: ¿Por qué asumimos que las partículas en el gas son indistinguibles?

Porque si no lo hacemos, encontramos que la entropía del sistema no es extensiva (ver la paradoja de Gibbs ), lo que lleva a violaciones aparentes de la segunda ley de la termodinámica. La solución propuesta por Josiah Gibbs es tratar las partículas como indistinguibles introduciendo un factor adicional de 1 / norte ! en la función de multiplicidad. Esta es una de las formas en que una propiedad mecánica cuántica fundamental se manifiesta en un sistema ostensiblemente clásico.

2: [..]Pero si asumimos que las partículas son fermiones, entonces seguramente las partículas TIENEN que estar en diferentes estados (debido al principio de exclusión de Pauli), lo que significa que introducir el factor 1/(N!) es exacto (y no solo una aproximación)?

No, sigue siendo una aproximación. Imagina que tu sistema tiene tres niveles de energía. mi = { 0 , ϵ , 2 ϵ } y tres partículas con una energía total de 3 ϵ .

  • Para las partículas distinguibles clásicas, podríamos tener cada partícula en un nivel de energía diferente o las tres partículas en el segundo nivel de energía. Hay seis formas de ordenar el primero y una forma de ordenar el segundo, para una multiplicidad total de 7. Dividiendo por 3 ! = 6 produce una multiplicidad corregida de 7 / 6 .
  • Para bosones indistinguibles, los seis arreglos posibles antes mencionados de una partícula por nivel de energía corresponden al mismo microestado. Por lo tanto, la multiplicidad total es 2 .
  • Para fermiones indistinguibles, además tenemos que está prohibido el microestado con todas las partículas en el segundo nivel de energía, lo que significa que la multiplicidad total es 1 .

Como nota al margen, la probabilidad de que las tres partículas tengan la misma energía es 1 / 7 como se calcula clásicamente, 1 / 2 para bosones indistinguibles, y 0 para fermiones indistinguibles. Esto informa la regla empírica de que es más probable que los bosones ocupen el mismo estado de lo que sugeriría un análisis clásico, y la regla opuesta se cumple para los fermiones.

¿Por qué asumimos que las partículas en el gas son indistinguibles? En QM, un conjunto de N partículas son indistinguibles solo si su función de onda combinada es simétrica (bosones) o antisimétrica (fermiones) bajo el intercambio de dos partículas. ¿Por qué hacemos esta suposición para la función de onda combinada de las partículas en el gas (cuyas funciones de onda de partículas individuales están dadas por las soluciones al problema de la partícula en una caja 3D, como de costumbre)?

Creo que tienes esto al revés. Obtenemos el resultado de que las partículas son fermiones o bosones precisamente porque suponemos que son indistinguibles. Cuando asume que las partículas son indistinguibles en la mecánica estadística, obtiene modelos fermiónicos o bosónicos.

¿Por qué asumimos que las partículas son indistinguibles? Porque "indistinguible" es solo una forma de decir que estamos considerando todas las características de las partículas en nuestro modelo, es decir, no hay nada que pueda medir que no esté considerando ya como una variable que me permitiría distinguir dos partículas.

Ejemplo: supongamos que tengo dos partículas de la misma masa y sin carga. Tienen 2 propiedades únicas que los identifican: su posición y su momento. Son "indistinguibles" en el sentido de que si tomo partículas 1 y cámbielo para que su posición y su momento coincidan con los de la partícula 2 , y viceversa, entonces efectivamente en la partícula modelo 1 se ha convertido en partícula 2 , y viceversa, y nada de la física ha cambiado. El sistema se comportará exactamente igual que si no hubiera hecho nada. Si las partículas son idénticas en todo excepto en la posición y el momento, ¿de qué otra forma las vas a etiquetar si no es "la partícula que está aquí y es lenta y la partícula que está allí y es rápida"? Por lo tanto, no tiene sentido asignar etiquetas como "partícula 1 y partícula 2 ", pero todas las etiquetas que necesitamos están en los estados.

Donde las suposiciones de indistinguibilidad se vuelven interesantes es que generalmente tenemos estas etiquetas para partículas: son las etiquetas de los espacios de Hilbert correspondientes que forman el espacio combinado H 1 ⊗ H 2 . El proceso de obtención de bosones y fermiones a partir de partículas distinguibles es el proceso de selección de las porciones de H 1 ⊗ H 2 que es invariable bajo el intercambio de estas etiquetas, que es una forma matemática de decir "si asigno a la partícula 1 todas las propiedades de la partícula 2 y viceversa, nada cambia".

Esto cambia drásticamente si hace que las partículas se distingan artificialmente, por ejemplo, asigna una posición fija, por ejemplo, "la partícula a la izquierda y la partícula a la derecha", y desea modelar el comportamiento de alguna otra variable, digamos su giros. Entonces, el sistema no es invariable bajo el intercambio de partículas, es decir, desea que "arriba hacia abajo" sea un estado físicamente distinto de "abajo hacia arriba", y por lo tanto ya no tiene fermiones ni bosones. Este es el caso, por ejemplo, en los sistemas de espín de celosía.

No estoy seguro de cómo esto explica por qué las partículas en el gas son indistinguibles. Si la indistinguibilidad define las nociones de bosones y fermiones, entonces ¿por qué no simplemente asignar a las partículas en el gas algún otro nombre/propiedades? En el modelo clásico, las partículas en el gas son distinguibles. Puedes distinguirlos por sus respectivas trayectorias. Según tengo entendido, las partículas son indistinguibles en QM solo si sus "trayectorias" se han mezclado, de modo que la probabilidad de que la partícula 1 esté en x_1 y la 2 esté en x_2 es ​​igual a la probabilidad de que la partícula 1 esté en x_2 y la 2 esté en x_1.
Y seguramente dos fermiones no tienen por qué ser indistinguibles. Si tiene un sistema no entrelazado de un par de electrones, puede distinguir las partículas por sus funciones de onda de una sola partícula (debido al principio de Pauli, estas funciones de onda deben ser diferentes y, por lo tanto, puede distinguir las partículas).
No del todo, las partículas son indistinguibles en QM si intercambiarlas no debería cambiar la física, es decir | X ⟩ 1 ⊗ | y ⟩ 2 debería ser el mismo que | y ⟩ 1 ⊗ | X ⟩ 2 . Lo único que importa es "hay una partícula en la posición X y una partícula en la posición y ", no cuál de las dos partículas está en qué posición, porque las partículas son idénticas en todo excepto en la posición, su posición es la única forma de distinguirlas. "Hay una partícula en la posición X y una partícula en la posición y " se traduce matemáticamente en el espacio de Fock.
De aquí viene el hecho de que una función de onda adecuada siempre se parecerá a | X ⟩ | y ⟩ + | y ⟩ | X ⟩ o similares, porque son las únicas superposiciones permitidas. Las partículas clásicas también son indistinguibles si solo se caracterizan por su trayectoria, pero hasta donde yo sé, esto no tiene implicaciones muy profundas.
Ejemplo con partículas clásicas: tienes dos bolas: bola 1 y pelota 2 . Son perfectamente idénticos excepto que uno está en mi mano derecha y el otro está en mi mano izquierda. Ahora les pido que cierren los ojos, los intercambien un par de veces y les pregunte: ¿cuál es la bola 1 y cuál es la bola 2? No podrás saberlo, porque no había una bola 1 o una bola 2 en primer lugar, solo una en la mano derecha y otra en la mano izquierda. Las bolas solo se distinguen por el punto que ocupan en el espacio de fase, es decir, solo por su posición.
Si las bolas fueran electrones y dices "su estado es | X ⟩ | y ⟩ ", debes estar haciendo algo mal, porque en ese caso podrías hacer algún experimento que te diga si las partículas se han intercambiado o no, lo que significa que las partículas no eran idénticas después de todo.
Sí, pero por supuesto me refiero a la indistinguibilidad cuántica, no a la clásica a la que te referías en tu último comentario. Como dijiste, la función de onda combinada se dará como una superposición de todas las permutaciones de las partículas en el sistema, cuando hablamos de indistinguibilidad cuántica. Mi pregunta es por qué asumimos que las partículas en el gas son indistinguibles de esta manera, cuando existen otros estados posibles para el sistema combinado.
No estoy seguro de lo que quiere decir con "cuando hay otros estados posibles para el sistema". Asumimos que las partículas en un gas son indistinguibles porque tiene sentido intuitivo y produce predicciones experimentales correctas. ¿De qué otra forma vas a etiquetar las partículas en un gas si no es por su posición y momento? Las partículas en el gas son como las bolas en los ejemplos clásicos, solo se caracterizan por su estado, a menos que las etiquetes explícitamente. Se supone que las partículas en un gas son idénticas excepto por su posición, momento, giro o cualquier otra propiedad que esté modelando.
Ahora, si tuviera un gas mixto de, por ejemplo, oxígeno y nitrógeno, entonces esos son distinguibles. De hecho, podría decir "el átomo de oxígeno está aquí y el átomo de nitrógeno está allí", y si los intercambia, ahora tiene "el átomo de nitrógeno está aquí y el átomo de oxígeno está allí", pero esto se debe a que el nitrógeno y el oxígeno se distinguen por otras propiedades que no son de posición. En otras palabras, te darías cuenta si se intercambiaran.
"solo se caracterizan por su estado, a menos que los etiquetes explícitamente". Exactamente. Si no son completamente indistinguibles, entonces es posible distinguirlos en principio utilizando sus estados cuánticos (o su posición y momento, en el caso clásico). Pero se establece la indistinguibilidad completa si no hay forma de distinguir en este caso, ya que la probabilidad de que la partícula 1 y 2 esté en el estado 1 y 2 respectivamente es la misma que la probabilidad de que la partícula 1 y 2 esté en el estado 2 y 1 respectivamente.
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