Diferencia en la función de partición del gas ideal clásico y cuántico

Primero, he leído esta pregunta: ¿ Qué significa el término "estado de partícula única"?

Hay un análisis en curso en mi libro (Mandle F. Statistical Physics) que me ha llevado a un punto confuso.

En el capítulo 7 del libro, hay un análisis del gas ideal clásico. Está probado que

Z total = 1 norte ! ( Z 1 ) norte
y eso
Z 1 = Z tr Z En t
dónde Z total es la función de partición total del sistema y Z tr y Z En t son las funciones de partición transaccional e interna de un subsistema en conjunto canónico respectivamente. Además, sabemos por el capítulo 2 que la función de partición es en general de la forma:
Z 1 gramo mi norte mi r a yo = ∑ r gramo ( ϵ r ) Exp ⁡ [ − ϵ r k T ] . ( 1 )

Al definir el gas ideal clásico tenemos que existen energías

ϵ 1 ≤ ϵ 2 ≤ ϵ 3 … ≤ ϵ r
correspondiente a un conjunto discreto de estados cuánticos señalados con 1 , 2 , 3 … r donde sólo puede existir una única molécula. Luego determinamos el estado de todo el gas definiendo un catálogo de las moléculas de cada estado particular definiendo norte r como el número de ocupación del estado r .

Pregunta :

En el capítulo 9 se encuentra la expresión de la función de partición de un gas cuántico ideal:

Z nene = ∑ norte 1 , norte 2 … Exp ⁡ ( − ∑ r norte r ϵ r k T )                 ( 2 )
y es:
mi ( norte 1 , norte 2 , . . . ) = ∑ r norte r ϵ r
y
norte = ∑ r norte r .

Entonces, ¿por qué esta diferencia entre (1) y (2) en el exponencial? ¿Por qué no usar también la suma de los números de ocupación en (1)? Aunque, si doy por sentadas las relaciones, puedo probar algunas cosas, no entiendo por qué las funciones de partición son diferentes en este análisis. Quiero decir, para ser claros, ¿por qué hay una suma en el exponente de (2) y no en (1) o viceversa? Si se trata de partículas indistinguibles en QM, o que el norte r el número en la segunda relación no se considera constante, pero en uno por alguna razón lo es, ¿alguien puede dar más detalles?

Además, me parece que no entiendo muy bien el significado de molécula única, tal vez es algo que se refiere al estado de una sola partícula que entiendo es lo que uno estudia en el gas cuántico a diferencia del clásico donde uno estudia una partícula determinar el comportamiento estadístico del sistema.

Gracias.

En la Pregunta 1, define un gas ideal clásico mientras lo describe en términos de estados cuánticos discretos. Así que parece que lo clásico y lo cuántico se mezclan...
Hola @roygvib Sí. Lo sé. Supongo que, para simplificar, el escritor cuantifica los estados de energía. De todos modos, ese es el análisis en el libro. En el capítulo 7, después del análisis mencionado, analiza gases reales y allí las cosas son más realistas, es decir, hace uso del hamiltoniano y el espacio de fase.
@roygvib Tenga en cuenta también que en el capítulo 7 hay un análisis en el espacio de fase que usa la densidad de estados para el impulso y la integración: hace un espectro discreto en un continuo. A partir de ahí, el escritor deriva la entropía de un gas ideal clásico con el problema de que cuando la temperatura llega a cero, la entropía llega al infinito. Eso es exactamente debido al hecho de que la densidad de estados no puede mantenerse para un impulso igual a cero. Como dije, toma los estados de energía cuantizados.
Supongo que su confusión proviene en parte del hecho de que Z_1 es una función de partición de una sola partícula, mientras que Z_tot es una función de partición de muchas partículas; describen diferentes números de partículas. Una confusión más es su notación. En la ecuación (1), la energía se representa con E_r mayúscula, mientras que en la Pregunta 1, la energía se escribe con letras minúsculas (e_r). ¿Son lo mismo en el libro de texto? Además, tenga en cuenta que en la ecuación (1) g(E_r) representa el número de estados que tienen la misma energía E_r.
@roygvib He hecho una edición. La E en (1) debería ser ε. Gracias por la nota.
Tengo muchas ganas de responder a esto, pero no puedo decir exactamente lo que estás preguntando. Creo que si esta publicación se dividiera en varias preguntas más pequeñas y más enfocadas, cada una obtendría una mejor respuesta de lo que probablemente sucederá aquí.
Por ejemplo, esta frase: "Entiendo que algo juega aquí con el sentido del estado único..." es difícil de entender. ¿Puedes ser más específico sobre lo que no entiendes?
@DanielSank Primero, gracias por tu comentario. Estoy en una posición en la que estoy pensando en eliminar la publicación y reformularla para separar las preguntas, en parte porque también estoy confundido. Si puede, dígame, para la segunda pregunta, ¿por qué cree que el término ∑ norte r mi r viene en la función de partición de la relación 2 pero no en la 1 (gas clásico)? Intentaré editar mi publicación. Gracias.
@DanielSank Hizo una edición. Si la publicación aún no está clara o "desordenada", si puedo decir, comente y veré qué puedo hacer. Pero creo que ahora solo hay una pregunta principal y un pensamiento al final de algo que me ha confundido, tal vez solo entendí mal todo el estado de una sola partícula. Gracias.
Excelente. Definitivamente puedo ayudar con esto. Primero, eche un vistazo a esta respuesta . La mayor parte de lo que escribiría como respuesta aquí es solo una nueva redacción de lo que escribí allí. Después de leer eso, podría influir en la forma en que formula esta pregunta.
@DanielSank Buena respuesta allí. Si no digo que la suma ∑ ε r norte r existen en (2) debido a partículas indistinguibles y tal vez porque las partículas de cada estado no son un número fijo, entonces tengo que preguntar por qué este problema se resuelve en el gas clásico al multiplicar con 1 norte ! y en el gas cuántico no lo es. ¿Es porque el gas clásico tiene un número fijo de partículas donde el cuanto no?
Y también, en relación a la respuesta, ¿podemos decir que la física estadística puede ser vista como analizando estadísticamente las fluctuaciones de un campo cuántico?
Definitivamente no pienses en stat mech como las fluctuaciones de un campo cuántico. Eso no es correcto. Las "fluctuaciones" cuánticas (frase muy, muy mala) existen aparte de la física estadística. Acerca de donde el 1 / norte ! viene, mira este otro post .

Respuestas (1)

De acuerdo, esto es bastante sencillo, pero no sé por dónde empezar.

Revisión: ¿Qué es una función de partición?

Demos un paso atrás y derivemos de lo que estamos hablando: ¿qué es una función de partición? Entonces tenemos un sistema que toma un conjunto de niveles de energía con degeneraciones { ( mi i , gramo i ) } .

Sabemos que su sistema s está en contacto con un depósito r , pero juntos están sellados en un conjunto microcanónico con S = S s + S r , tu = tu s + tu r . Ahora que el reservorio es grande y complicado, sus grados internos de libertad sobre los (para él) pequeños cambios en tu r se puede linealizar como S r ( tu − tu s ) = S r ( tu ) − tu s / T , dónde T es su temperatura termodinámica (efectivamente constante) T − 1 = ( ∂ S r ∂ tu r ) norte r ,   V r . Por lo tanto, la entropía global del sistema de depósito en el estado i es S r ( i ) = S 0 − mi i / T para algunos S 0 . Pero sabemos que la definición de entropía es S = k B en ⁡ W dónde W es una multiplicidad del estado, por lo que contando en la degeneración, la multiplicidad total del estado es simplemente:

W i = gramo i   W r ( i ) = gramo i   mi S 0 / k B − mi i / ( k B T )
y la probabilidad es por lo tanto
pag i = W i ∑ k W k = gramo i   mi − mi i / ( k B T ) Z
por alguna constante Z independiente del índice estatal i , incorporando ambos ∑ k W k y mi S 0 / k B . Como las probabilidades suman 1, podemos decir que:
Z = ∑ i gramo i   Exp ⁡ ( − mi i k B T ) .
Si el sistema es continuo, entonces necesitamos una densidad de estados gramo ( mi ) de modo que el número de estados con energías entre mi y mi + d mi es aproximadamente gramo ( mi )   d mi , luego convertimos lo anterior en una integral.

De partículas a sistemas complejos

Bien, ahora que ambos estamos en la misma página sobre lo que es , ¿qué sucede si su sistema tiene un montón de partes ? Entonces cada uno i ahora etiqueta una configuración de las partes . ¡Potencialmente se complica! La primera cosa fácil de hacer es deshacerse de las degeneraciones gramo i y en su lugar almacenan todas sus energías en un conjunto múltiple : este es un conjunto que puede contener el mismo número varias veces. Eso puede ser confuso, así que procedamos formalmente de una manera diferente.

Hablemos ahora de un conjunto C = { C i } donde el C i es algún objeto matemático que me dice la configuración del estado i , y supondremos que esto es distinto para cada i , y ahora tenemos que pasar de un conjunto de mi i a una función mi ( C i ) que da la energía de una configuración de las partes. Como efecto secundario ahora gramo i = 1 para cada i ya que cada configuración se trata de forma independiente, pero se mantiene el mismo resultado:

Z = ∑ i Exp ⁡ ( − mi ( C i ) k B T ) .

Sistemas que no interactúan

Si estás conmigo hasta ahora, ¡solo hay un paso más! ¿Cuál es la forma de C i y mi ( C ) ?

Bien por un sistema de norte partículas idénticas que no interactúan, tenemos las energías de una sola partícula mi i de antes, y la energía total es la suma de las energías por las que están ocupados los estados. Es decir, la forma ideal para C i se convierte en una función de ocupación , C i = { norte i , k } lo que nos dice, en configuración i , cuantas particulas estan en el estado con energia mi k . Entonces la energía del estado es:

mi ( C i ) = ∑ k norte i , k   mi k ,
por eso,
Z = ∑ i Exp ⁡ ( − ∑ k norte i , k   mi k k B T )
Así que de ahí viene la suma: ahora tenemos un estado complicado de múltiples partículas , pero siempre que las partículas no interactúen , podemos usar la suma de las energías de una sola partícula para obtener la energía total.

Gracias por la respuesta. Entonces, la suma arriba proviene del hecho de que hemos puesto las degeneraciones a 1 y hemos hecho las funciones de energía de c, que en las partículas que no interactúan se convierte en el número de ocupación norte r ?
Y lo hacemos porque ahora queremos estudiar el estado y no la partícula; analizamos el sistema observando los estados y no una partícula.
@ConstantineBlack Las degeneraciones que son 1 no importan tanto, es solo una consecuencia de la forma "obvia" de tratar el sistema. De hecho, la suma de arriba proviene del hecho de que el estado ahora se compone de partículas que no interactúan: la energía de un estado de partículas múltiples que no interactúan es una suma de energías de partículas individuales.
Diferencia en la función de partición del gas ideal clásico y cuántico
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