Modelo de Einstein para capacidad térmica de sólidos e indistinguibilidad de los osciladores

La teoría de la capacidad térmica de los sólidos de Albert Einstein supone que un cristal está formado por osciladores que, por supuesto, oscilan en las tres direcciones. Así, para N átomos del cristal, tenemos 3N osciladores y cada uno está descrito por: r ¨ = − ω mi 2 r , dónde r es el desplazamiento y ω mi es la frecuencia de la oscilación.

Einstein argumenta que los niveles de energía de cada uno de los osciladores están dados según la mecánica cuántica, son discretos y son: ϵ r = ℏ ω mi ( r + 1 / 2 ) , con r=0,1,2...

Por tanto, la función de partición es z 1 = ∑ r mi − β ϵ r = mi − β ℏ ω mi 2 1 − mi − β ℏ ω mi , dónde β = 1 / k T

A partir de aquí encontramos la energía media y la capacidad térmica.

Pregunta: El análisis anterior parece tratar a los osciladores como distinguibles. ¿Pero no son indistinguibles? He leído dos pensamientos:

1) Que la paradoja de Gibbs se puede resolver dividiendo por N!. Por lo tanto, si los osciladores son indistinguibles, ¿no deberíamos dividir la función de partición con (3N)? ?

2) También he leído (de la publicación aquí y los documentos) que la división de la función de partición no se debe al hecho de que mecánicamente cuánticamente las partículas deberían ser idénticas, sino a nuestra definición de entropía en termodinámica (y que la paradoja de Gibbs se puede resolver así).

Entonces, me gustaría preguntar, por qué no dividimos, en el modelo de Einstein con el factorial, y por qué, sin la división, el modelo de Einstein funciona dando buenos resultados.

Gracias.

Nota: El libro que leí es de Mandle. Además, si hay modelos como el modelo de Einstein que consideran los osciladores idénticos, si puede dar una referencia. Por supuesto cualquier referencia para el estudio es bienvenida.

Comentario algo no relacionado: el modelo de Einstein en realidad no funciona bien a bajas temperaturas. Para un modelo mejorado (y algo más físico), vea el modelo Debye.
@lnmaurer Buenos días (de mi parte) y gracias por el comentario. Conozco a la modelo Debye y estoy estudiando un poco estos días. Me preguntaba cómo el modelo de Einstein da buenos resultados y si está en sinfonía con la entropía de la termodinámica.

Respuestas (1)

Pregunta: El análisis anterior parece tratar a los osciladores como distinguibles. ¿Pero no son indistinguibles?

En el modelo de Einstein, se supone que los osciladores se sientan (oscilan alrededor) en un lugar definido en el espacio. Así que se podría decir que son distinguibles. Por ejemplo, por sus coordenadas cartesianas con respecto al marco del laboratorio.

1) Que la paradoja de Gibbs se puede resolver dividiendo por N!.

Desafortunadamente, el término "paradoja de Gibbs" es muy vago y la gente usa este término en diferentes significados. ¿Qué quieres decir con eso?

Me gustaría preguntar, ¿por qué no dividimos, en el modelo de Einstein con el factorial,

El modelo de Einstein trata a los osciladores como sistemas independientes y los describe por conjunto canónico o, efectivamente, con la distribución de probabilidad de Boltzmann. En este contexto, la función de partición para un sistema de norte oscilador se define por

Z = ∑ R mi − β ϵ R
donde la suma es sobre todos los estados R de todo el sistema, de modo que la probabilidad de Boltzmann se puede expresar simplemente como
pag R = mi − β ϵ R Z .

No hay razón para definir Z con la suma anterior dividida por norte ! - si hiciéramos eso, tendríamos que escribir la probabilidad para el estado R como

pag R = mi − β ϵ R norte ! Z
que es engorroso y no sirve para ningún propósito útil.

y por qué, sin la división, el modelo de Einstein funciona dando buenos resultados.

Einstein era un tipo inteligente y tuvo suerte al inventar un cálculo que da resultados similares a las medidas.

hola y gracias por la respuesta. ¿Puedo preguntar esto: la entropía del modelo de Einstein está en sinfonía con la entropía termodinámica? Por eso hice referencia a la paradoja de Gibbs y pregunté por la división con el factorial. ¡No necesitamos dividir con N! conseguir esa sinfonía? Tengo una pregunta similar aquí: physics.stackexchange.com/questions/189273/… , sobre el factorial. Gracias.
Nota: He leído estas publicaciones: physics.stackexchange.com/questions/184947/… , physics.stackexchange.com/questions/102755/… , y algunas de estas: arxiv.org/abs/1012.4111 , bayes.wustl.edu /etj/articles/gibbs.paradox.pdf . Entonces, @JanLalinsky, ¿por qué no dividimos con el factorial, o para decirlo de otra manera: tenemos que dividir para estar en sinfonía con la termodinámica? Gracias.
Y también, ¿es esto aproximadamente cierto, que los osciladores son indistinguibles? Si es así, ¿es esta una propiedad de los sólidos en general para que podamos hacer esta suposición? ¿Hay modelos en los que algo como esto no se sostiene? Gracias de nuevo.
Creo que la mayoría de los modelos de sólidos asumen que los átomos son distinguibles. Puede haber modelos en los que esto no se cumpla, pero no conozco ninguno.
Modelo de Einstein para capacidad térmica de sólidos e indistinguibilidad de los osciladores
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