Giro en las ecuaciones de Schrödinger

La ecuación de Schrödinger solo es correcta en el límite no relativista$v << c$, para partículas sin espín. La ecuación correcta para spinless (=spin$0$) partículas es la ecuación de Klein-Gordon , que reduce en el límite no relativista a la ecuación de Schrödinger.

Si queremos hablar de giro$\frac{1}{2}$, la ecuación relativista correcta es la ecuación de Dirac . La ecuación de Dirac se reduce en el límite no relativista a la ecuación de Pauli , que es análoga a la ecuación de Schrödinger para partículas con espín.$\frac{1}{2}$.

para girar$1$partículas tenemos la ecuación de Proca , que se conoce en el límite sin masa como la famosa ecuación no homogénea de Maxwell . Para partículas sin masa no tenemos límite no relativista y, lamentablemente, no conozco el nombre, si lo hay, para el límite no relativista de la ecuación de Proca.

La notación de Dirac es simplemente una alternativa a la notación vectorial. Ciertamente, hay PDE que describen el estado cuántico de una partícula solitaria con espín y son:

1. La ecuación de Pauli (ver la página Wiki de este nombre) fue históricamente la primera, y aquí el estado cuántico es dos $\mathcal{L}^2(\mathbb{R}^3, \mathbb{R})$Funciones del espacio y el tiempo. Los dos componentes codifican el giro. Pauli construyó su ecuación con un enfoque fenomenológico, observando principalmente los resultados del experimento de Stern-Gerlach. Es importante destacar que Pauli incorporó conscientemente la noción de giro en su ecuación;

2. Paul Dirac formuló la ecuación de Dirac en 1928; su motivación era llegar a una ecuación relativista (a diferencia de las ecuaciones de Schrödinger de 1926 y de Pauli de 1927) y su método era buscar una "raíz cuadrada" del operador de segundo orden en la ecuación de Klein-Gordon, que fue construida para ser relativista pero sufrido por tener soluciones de energía negativas y positivas. Esperaba que una ecuación de primer orden proveniente de la "raíz cuadrada" superaría el problema de solución de energía negativa. Se dio cuenta de que no podía construir tal ecuación con coeficientes en campos conmutativos como$\mathbb{R}$y$\mathbb{C}$y así se vio forzado a la idea de coeficientes de Clifford Algebras, representada por$4\times 4$matrices (en caso de que no haya conocido esto antes, uno puede representar números complejos como un campo de$2\times 2$matrices de elementos reales, por lo que la idea no es tan poco natural como le pareció a Dirac al principio). Entonces el operador toma una$4\times 1$vector de columna como entrada, por lo que surgió la pregunta de qué significaban los cuatro componentes. Resultó "casualmente" que las soluciones modelaban partículas con espín; a diferencia de Pauli, este no había sido el objetivo principal de Dirac. Su ecuación también tenía soluciones de energía negativa, y se vio obligado a utilizar su hipótesis del Mar de Dirac para resolver su problema original.

La ecuación de Dirac se menciona en otras respuestas como PDE que describe el giro. Cuando pregunte "¿cómo sería la ecuación de Schrödinger (o algún tipo de generalización que le permita incluir el giro)?", Lo siguiente puede ser relevante.

Sí, la ecuación de Dirac describe adecuadamente el giro. Sin embargo, en realidad es un sistema de cuatro ecuaciones diferenciales parciales para cuatro funciones (componentes del espinor de Dirac). Me sorprendió que la ecuación de Dirac sea generalmente equivalente a una PDE para una sola función. No quiero escribirlo aquí, pero puede consultar mi artículo http://akhmeteli.org/wp-content/uploads/2011/08/JMAPAQ528082303_1.pdf (publicado en Journal of mathematical physics). La ecuación está escrita en una forma más general y simétrica en mi artículo reciente http://arxiv.org/abs/1502.02351 .