Conjunto completo y ecuación de Klein-Gordon

Esta afirmación es falsa. Las soluciones de energía positiva de la ecuación libre de Klein Gordon forman un conjunto completo. Lo que esto significa es que cualquier función de onda de la forma$\psi(x)$donde x varía en el espacio y no en el tiempo, se puede escribir como una suma de soluciones de partículas libres.

En este caso, la forma de hacerlo es mediante la transformada de Fourier: escribes$\psi(x)$como

y esto expande una función arbitraria, y luego la haces dependiente del tiempo reemplazando$e^{ik\cdot x}$con$e^{ik\cdot x - i E_k t}$dónde$E_k = \sqrt{k^2 + m^2}$. El resultado da la evolución temporal de la energía positiva de cualquier dato de función de onda inicial.

Esto no es bueno porque no esté completo, sino porque no es local: las soluciones de energía positiva de una sola partícula van más rápido que la luz. Esto requiere hacer una teoría multipartícula para arreglar el formalismo.

La completitud no es completitud en el sentido de expresar cada solución de la ecuación de Klein Gordon en términos de datos iniciales, porque los datos iniciales para KG son la función$\psi$y es su primera derivada. Estos no son los datos que especifica para una función de onda mecánica cuántica, son los datos para un campo clásico.

El libro está confuso sobre este tema, y ​​debe omitir esta parte.