Según la sugerencia de Rob, decidí hacer de esto una respuesta.

(Anexo: he estado meditando sobre este mismo tema durante algún tiempo y me han dirigido a una literatura interesante a la que se hace referencia en la página web de Streater. Según el comentario de Rococo, actualicé mi respuesta, pero conservé la versión anterior para la posteridad).

La respuesta

Para hablar de "partículas de espín-1/2", necesitamos el teorema de las estadísticas de espín.

El teorema de la estadística de espín no se cumple para QM no relativista. O más precisamente, el teorema "ingenuo" de las estadísticas de espín no se cumple, y si tratamos de idear uno... no es nada parecido a lo que esperaríamos.

En resumen, la razón es: el teorema de las estadísticas de espín depende críticamente de la microlocalidad (es decir, el conmutador de operadores conjugados separados en forma de espacio se desvanece de manera idéntica). Esta propiedad se cumple relativistamente, pero no no relativistamente. (Las otras pruebas tampoco se cumplen, ya que falla la invariancia de Lorentz).

Pero hay un truco alrededor de esto. Simplemente tome una partícula relativista de espín-1/2, luego tome el límite no relativista.

Pero, ¿se mantiene la ecuación de Schrödinger?

Ahora, la pregunta que se hizo originalmente es: ¿la ecuación de Schrödinger se cumple para las partículas de espín 1/2? Para hablar de partículas de espín-1/2, realmente estamos trabajando con representaciones del grupo de Lorentz. Una partícula no relativista de espín-1/2 se obtiene tomando el límite no relativista (es decir, el$c\to\infty$límite) de la ecuación de Dirac, que es la ecuación de Pauli :

dónde$\boldsymbol{\sigma}$son las matrices de Pauli,$\mathbf{A}$un potencial vectorial externo,$\phi$un potencial eléctrico externo, y$q$la carga eléctrica de la partícula. Pero observe cuando "apagamos" el electromagnetismo (configurando$\mathbf{A}=\phi=q=0$) nos recuperamos

Uh, lo dejo como ejercicio para que el lector muestre que el lado izquierdo de esta ecuación es$(1/2m) \mathbf{p}^{2}\otimes\boldsymbol{1}_{2}$dónde$\boldsymbol{1}_{2}$es la matriz identidad de 2 por 2.

Referencias

Para revisiones más completas sobre este asunto, puedo referir de todo corazón al lector a:

• AS Wightman, "La conexión spin-statistics: algunos comentarios pedagógicos en respuesta a la pregunta de Neuenschwander" Eprint , 7 páginas
• RE Allen, AR Mondragon, "Sin conexión de estadísticas de espín en la mecánica cuántica no relativista". Eprint arXiv:quant-ph/0304088 , 2 páginas

La (antigua) respuesta

La ecuación de Schrodinger "vainilla" (de QM no relativista) no describe una partícula de espín-1/2.

La simple y antigua ecuación de Schrödinger describe un campo de espín-0 no relativista .

Estudios de caso

Si pretendemos que la función de onda es un campo clásico (lo que sucede todo el tiempo durante el procedimiento de "segunda cuantificación"), resulta que describe un campo de espín-0 . Consulte la Teoría de campos cuánticos de partículas puntuales y cadenas de Brian Hatfield , específicamente el capítulo 2 --- sobre "Segunda cuantificación".

¡Pero espera hay mas! Si consideramos otros campos no relativistas e intentamos cuantificarlos, por ejemplo, la teoría de la gravedad de Newton Cartan, ¡también obtenemos un bosón de spin-0! Para este resultado (específico para cuantificar la gravedad newtoniana), consulte:

• "Sector exactamente soluble de la gravedad cuántica" de Joy Christian. Phys.Rev.D 56 (1997) 4844-4877 , eprint arXiv:gr-qc/9701013

La razón

Bueno, esto no debería sorprendernos, ya que la ecuación de Schrödinger es el límite no relativista de la ecuación de Klein-Gordon. ¡Y debemos recordar que la ecuación de Klein-Gordon describe los bosones de spin-0!

El límite no relativista$c\to\infty$ no debe afectar el espín de las partículas involucradas. (¡Es por eso que el modelo de Pauli es el límite no relativista de la ecuación de Dirac!)

Posiblemente sea una referencia a la ecuación de Pauli o ecuación de Schrödinger-Pauli: la formulación de la ecuación de Schrödinger para partículas de espín-½, que tiene en cuenta la interacción del espín de la partícula con un campo electromagnético externo. Es el límite no relativista de la ecuación de Dirac y se puede utilizar cuando las partículas se mueven a velocidades mucho menores que la velocidad de la luz, por lo que se pueden despreciar los efectos relativistas. (wiki, ecuación de Pauli)

Schrödinger simplemente no tiene en cuenta el giro. Para giro 1/2, necesita la ecuación de Pauli o Dirac. Una partícula sin espín, es decir, espín cero, como el bosón de Higgs o los piones (ignorando su estructura interna de quarks/gluones) se describe mediante la ecuación de onda de Klein-Gordon.

He leído una afirmación de que, en la medida en que describe una partícula con giro, Schrödinger es para una partícula atrapada en un$S_z$estado propio. No estoy seguro de si esto resiste un análisis más detallado, y no recuerdo dónde lo leí, así que dejo esto a otros para que lo critiquen.

Es verdad. La ecuación de Schrödinger es una ecuación diferencial cuyas soluciones son funciones de onda de partículas de espín 1/2 y partículas de espín 1/2 únicamente. La pregunta es bastante profunda. La ecuación de Schrödinger para una partícula de espín cero (que modela la propia energía), o una partícula de espín uno (es decir, un fotón) es similar pero no tiene el factor 1/2 en la 'constante de difusión'. Que$1/2$factor es la única diferencia. La función de onda elemental para partículas de espín cero y espín uno, cuando se utilizan unidades naturales, involucra conceptos de masa, energía y momento que aseguran que E = p = m. Para las partículas de espín-1/2, tenemos E = p = 2m, porque ahora tenemos tanto el momento lineal como el momento angular (y ambos usan el factor de masa, con el teorema de equipartición que explica por qué la energía se divide por igual entre ambos). Para más detalles, consulte este . Es algo especulativo, pero cierto.