¿Cómo la descomposición de Gordon de la corriente de Dirac da lugar al momento angular de espín?

¿Cómo la descomposición de Gordon de la corriente de Dirac da lugar al momento angular de espín?

Usé la descomposición de Gordon para dividir la corriente de probabilidad del campo de Dirac en su corriente orbital y su corriente de espín. Multipliqué las corrientes por$mc$para convertirlos en cantidad de movimiento y luego cruzar la cantidad de movimiento con la posición para obtener el momento angular orbital y el momento angular de giro. Sin embargo, el momento angular de giro era el doble del valor aceptado del momento angular de giro. Estoy atascado en cómo deshacerme del factor extra de dos.

La Descomposición de Gordon divide la corriente de probabilidad en dos términos

$$\begin{align} mc\langle \gamma^{0n} \rangle = \langle \gamma^{0} i\hbar \partial^{n} \rangle + \tfrac{\hbar}{2}\partial_{j}\langle i\gamma^{0nj} \rangle_{n\neq j} , \end{align}$$ dónde $\langle \gamma^{0} i\hbar \partial^{n} \rangle$parece una corriente de momento orbital y $\tfrac{\hbar}{2}\partial_{j}\langle i\gamma^{0nj} \rangle_{n\neq j}$parece una corriente de momento de espín?

Los momentos angulares de$mc\langle \gamma^{0n} \rangle$se puede calcular cruzando entonces con la posición para obtener lo siguiente:

$$\begin{align} mc \left( x^m\langle \gamma^{0n} \rangle - x^n\langle \gamma^{0m} \rangle \right) = \langle \gamma^{0} i\hbar (x^m\partial^{n}-x^n\partial^{m}) \rangle + \tfrac{\hbar}{2}\partial_{j} \left( x^m\langle i\gamma^{0nj} \rangle_{n\neq j} - x^m\langle i\gamma^{0nj} \rangle_{n\neq j} \right) , \end{align}$$