Derivo la forma cuadrática de la ecuación de Dirac de la siguiente manera
{ [ yo ∂ ̸ - mi UN ̸]2−metro2} ψ = {( yo ∂− mi A )2+12 yoσμ νFμ ν−metro2} ψ = 0
Y necesito encontrar la forma del término dependiente del espín para obtener la expresión final
gramomi2σμ ν2Fμ ν= - gramomi2( yoα⃗ ⋅ mi +Σ⃗ ⋅ si )
Pero no entiendo esta expresión.
Estoy usando la representación de Dirac con estas cantidades.
α⃗ = (0σ⃗ σ⃗ 0) Σ⃗ = (σ⃗ 00σ⃗ )
Dónde
σ⃗ = (σX,σy,σz)
es el vector matriz de Pauli.
Construí el tensor electromagnético término por término, usando la definiciónFμ ν=∂mAv−∂vAm
con el tensor métricogramoμ ν= diag ( + 1 , − 1 , − 1 , − 1 )
y obtengo
Fμ ν=⎛⎝⎜⎜⎜⎜0−miX−miy−mizmiX0−BzBymiyBz0−BXmiz−ByBX0⎞⎠⎟⎟⎟⎟
evalúo elσμ ν
matriz a partir de su definición en términos de matrices gammaσμ ν=i2[γm,γv]
σ00=i2[γ0,γ0] = 0
σ0 yo=i2[γ0,γi] =i2[γ0,γ0αi] =i2[αi−γ0αiγ0] =i22αi= yoαi
σyo j=i2[γi,γj] = [γ0αi,γ0αj] =i2γ0(αiγ0αj−αjγ0αi) =i2(− [σi,σj]00− [σi,σj])=ϵyo k _(σk00σk) =ϵyo k _Σk
Y los términos restantes siguen la propiedad de antisimetría.
σμ ν= −σvm
σμ ν=⎛⎝⎜⎜⎜⎜0− 2αX− 2αX− 2αX2αX0−ΣzΣy2αyΣz0−ΣX2αz−ΣyΣX0⎞⎠⎟⎟⎟⎟
Ahora, mis preguntas son:
"¿Por qué estos cálculos no dan el resultado correcto?"
"¿Qué debo hacer para obtener el resultado correcto? ¿Qué me estoy perdiendo?"
σμ ν2Fμ ν= − ( yoα⃗ ⋅ mi +σ⃗ ⋅ si )