¿Dónde está el espín en la ecuación de Schroedinger de un electrón en el átomo de hidrógeno?

En mi mecánica cuántica actual, por supuesto, hemos derivado en su totalidad (¿creo?) Las ecuaciones de onda para los estados estacionarios independientes del tiempo del átomo de hidrógeno.

Se nos dice que el principio de exclusión de Pauli es consecuencia de que dos electrones no puedan compartir la misma ecuación de onda.

Sin embargo, en nuestra ecuación derivada, no teníamos nada que incluyera el giro. Definimos ψ ( r , θ , ϕ ) como ψ norte , yo , metro ( r , θ , ϕ ) = R norte , yo ( r ) Y yo , metro ( θ , ϕ ) , dónde Y yo , metro ( θ , ϕ ) = F yo , metro ( θ ) mi i metro ϕ . Entonces se nos dio bien definido R norte , yo y F yo , metro que satisfizo las ecuaciones diferenciales parciales en la ecuación de Schroedinger.

En ninguna parte de nuestra final ψ encontramos algo que varíe en función de un cuarto grado de libertad, por no hablar de uno que se comportó como metro s debería.

¿Me estoy perdiendo el punto del Principio de Exclusión de Pauli? ¿Hay una parte de las soluciones para ψ que no estoy entendiendo?

EDITAR: Me refiero a un H − ion, donde hay dos electrones cada uno con su propia ecuación de onda. Si imaginamos el caso en que ambos tienen los mismos números cuánticos n,l,m, pero distinto espín metro s , ¿no serían sus ecuaciones de onda exactamente iguales y, por lo tanto, no permitidas?

Creo que las soluciones que exhibes solo son buenas para átomos "similares al hidrógeno", es decir, aquellos con un solo electrón . En los casos de dos electrones hay una interacción entre los electrones individuales, y la solución debe escribirse ψ ( r 1 , θ 1 , ϕ 1 , r 2 , θ 2 , ϕ 2 ) .
@dmckee En ese caso, ¿aparece el giro?

Respuestas (4)

Lo que has escrito es la parte espacial de la función de onda del electrón. El estado de giro no está incluido. La función de onda completa del electrón involucra tanto la parte espacial como la parte de espín. A veces, en los libros de mecánica cuántica, la función de onda completa del electrón se escribe como el producto tensorial de las partes espacial y espinora, a veces solo lo verás como uno escrito después del otro. A veces lo verás escrito como | norte , yo , metro yo , s , metro s ⟩ . No estoy seguro de qué libro estás usando.

Cuando derivó las soluciones del TISE para el átomo de hidrógeno hamiltoniano, probablemente descuidó las correcciones relativistas, las interacciones de estructura fina y las interacciones hiperfinas, dejándolo solo con el potencial de Coulomb. Dado que el potencial de Coulomb no depende del espín del electrón, podría ignorar esa parte de la función de onda. (En otras palabras, dado que todos los operadores de espín viajan con el 1 / r potencial, los autoestados de espín son todos autoestados del 1 / r hamiltoniano, por lo que es kosher simplemente agregar el | s , metro s ⟩ cosas después).

Entonces, básicamente, ¿las ecuaciones de Schroedinger no cuentan la historia completa?
@Justin: la ecuación de Schroedinger puede hacer un buen trabajo, pero debe incluir los potenciales dependientes del espín, así como el potencial de Coulomb.
Hago eco de lo que dijo dmckee: la ecuación de Schroedinger cuenta la historia completa (no relativista), pero depende del usuario poner todo en el hamiltoniano y asegurarse de que el espacio vectorial de estado incluya todo sobre el sistema. En este caso, usted aproximó el hamiltoniano (como se explicó anteriormente) para incluir solo el término de Coulomb y usó un espacio vectorial simplificado que incluía la función de onda espacial pero no la función de onda del espinor. Eso está bien para el hamiltoniano que usaste, ya que no depende del giro.
Así que básicamente, el V ( r ) El término de la ecuación de Schroedinger que resolvimos fue solo una aproximación?
No sé, Justin L. ¿Por qué no escribes el hamiltoniano (o la ecuación de Schroedinger) que usaste?

Una descripción del espín del electrón y el principio de exclusión de Pauli debe ir más allá de la ecuación de Schrödinger a la ecuación de Dirac con valores de espinor.

No recuerdo muy bien mi curso de física atómica, pero al nivel de su análisis, creo que simplemente agrega explícitamente la regla de los dos orbitales de espín paralelo.

Para una discusión sobre este tema, la página de wikipedia es útil.

Probablemente haya resuelto la ecuación no relativista de Schroendinger que da lugar a sólo tres de los números cuánticos, es decir, n, l, ml. La propiedad de giro viene como resultado de los efectos relativistas. La ecuación fue elaborada por Dirac.

Para que el principio de Pauli se vea/implemente explícitamente, uno debe tener al menos dos electrones. No es el caso de H.

me refiero a un H − ion, donde hay dos electrones cada uno con su propia ecuación de onda. Si imaginamos el caso en que ambos tienen los mismos números cuánticos n,l,m, pero distinto espín metro s , ¿no serían sus ecuaciones de onda exactamente iguales?
No, tenemos una ecuación para una función de onda que depende de dos argumentos ψ ( X 1 , X 2 ) . La función de onda total (incluidas las variables de espín) debe ser entonces antisimétrica en estos argumentos.
¿Dónde está el espín en la ecuación de Schroedinger de un electrón en el átomo de hidrógeno?
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