geometría y topología

Como complemento a la respuesta de Ryan:

La geometría diferencial normalmente estudia las métricas de Riemann en variedades y sus propiedades. Un resultado típico de la geometría diferencial es el teorema de la esfera , que establece que si$M$es una variedad cerrada equipada con una métrica de Riemann para la cual las curvaturas de sección se encuentran en el intervalo semiabierto$(1/4, 1]\,\,$, entonces$M$es una esfera Tenga en cuenta que el objeto básico es una variedad equipada con una métrica de Riemann (una variedad de Riemann ), y la curvatura de la métrica juega un papel clave en la declaración del teorema. Estas son características típicas de problemas/teoremas en geometría diferencial. Sin embargo, tenga en cuenta que la conclusión del teorema implica una declaración sobre la topología de$M$; por lo tanto, ciertamente existe una superposición entre la geometría diferencial y las preocupaciones de la topología. (Se podría decir que el teorema de la esfera es un resultado global, utilizando hipótesis geométricas para sacar conclusiones topológicas. También se pueden obtener resultados locales, en los que la topología no desempeña ningún papel en la hipótesis o las conclusiones: por ejemplo, que una variedad de Riemannin con curvatura cero en todas partes es localmente isométrico al espacio euclidiano; también se pueden obtener resultados globales que comienzan con la topología y concluyen con la geometría: por ejemplo, que cualquier superficie orientable compacta de género 2 o superior admite una métrica riemanniana con curvatura constante$-1$.)

La topología diferencial se refiere a resultados sobre variedades que son más directamente topológicas y no se refieren a estructuras métricas. La conjetura generalizada de Poincaré (que una variedad cerrada que es homotópica a una esfera es homeomorfa a una) es un ejemplo; otro ejemplo más simple es el teorema de Ehresmann, que establece que una inmersión entre variedades cerradas (o más generalmente, cualquier inmersión propiamente dicha ) es un haz de fibras.

Por supuesto, estas distinciones pueden ser sutiles y no siempre estar bien definidas, pero una distinción típica entre geometría y topología en general (y que se confirma en la discusión anterior) es que la geometría estudia las propiedades métricas de los espacios, mientras que la topología estudia cuestiones que no implican nociones métricas (es el estudio de la forma pura , por así decirlo; el antiguo nombre de análisis situs también arroja algo de luz sobre el significado de la topología).

Una advertencia es que, clásicamente, la geometría euclidiana se ramificó no solo en otras geometrías como la geometría hiperbólica (esta ramificación fue un precursor de la introducción de Riemann de las nociones generales de variedad y curvatura de Riemann), sino que dio lugar a otra rama conocida como geometría proyectiva. En geometría proyectiva, las nociones métricas de distancia y ángulo no se estudian (porque no se conservan mediante transformaciones proyectivas), pero sí se estudian nociones como ser una línea recta o ser una sección cónica. La geometría algebraica es el tema moderno que se desarrolló a partir de la geometría proyectiva (entre otras fuentes; vea esta respuestapara una discusión de un problema bastante diferente --- calcular integrales elípticas --- que fue otro precursor histórico de la geometría algebraica). En geometría algebraica se estudian variedades , que son conjuntos solución de ecuaciones polinómicas; por lo tanto, en su forma elemental se parece mucho a lo que se llama geometría analítica en la escuela secundaria, es decir, estudiar figuras en el plano o en el espacio, recortadas por ecuaciones en las coordenadas.

¿Por qué esta geometría (a diferencia de la topología), decir)? Porque resulta que cuando las funciones que uno está usando para recortar figuras, o describir mapas entre figuras, están restringidas a ser polinómicas, los objetos que uno obtiene son bastante rígidos, de una manera muy similar a como son las figuras de geometría euclidiana más tradicionales. rígido. Entonces uno tiene la sensación de estar haciendo geometría, más que topología. (En topología, por el contrario, las cosas se sienten bastante fluidas, ya que se permite deformar objetos en formas bastante extremas sin cambiar su naturaleza topológica esencial). Y, de hecho, resulta que hay conexiones más profundas entre la geometría algebraica y métrica: por ejemplo , para una superficie orientable compacta de género al menos 2, resulta que las posibles formas de realizar esta superficie como una variedad algebraica sobre los números complejos están en una biyección natural con las posibles elecciones de una curvatura constante -1 métrica en la superficie. Un ejemplo más reciente lo da la conjetura de Calabi demostrada por Yau.

Tu pregunta es bastante vaga. Hay dos dinámicas paralelas que suceden cuando aprendes matemáticas. En un nivel, las matemáticas son extremadamente específicas, por lo que a medida que aprende un tema en detalle, parece que todo lo que sabe es ese tema y parece no tener relación con ningún otro tema. Pero una vez que llegas a comprender algo, comienzas a notar patrones: ejemplos estándar que aparecen en muchos campos diferentes, pero en diferentes formas, construcciones estándar, muchas de las cuales encajan en marcos categóricos u otros naturales que están más allá de los detalles de un campo. Entonces, hasta cierto punto, hay amplios temas unificadores entre las materias de matemáticas. En ese sentido, hay muchas conexiones entre temas etiquetados por nombres donde combinas dos de las palabras del conjunto {geometría (ic), topología, álgebra (ic)}.

Pero en su nivel más tosco y primitivo, existen grandes diferencias. La geometría algebraica se trata del estudio de variedades algebraicas, soluciones a cosas como ecuaciones polinómicas. La topología geométrica trata en gran medida del estudio de las variedades, que son como variedades pero sin singularidades, es decir, objetos homogéneos. Se podría decir que la topología algebraica se trata más del estudio del tipo de homotopía o "agujeros en los espacios". Todas estas son descripciones inexactas ya que, en cierto sentido, las definiciones de los sujetos están moldeadas por sus historias. Diría, por ejemplo, que la topología algebraica está más definida por la naturaleza de las herramientas que emplea. Mientras que la topología geométrica está más motivada por los objetos sobre los que quiere probar teoremas. Eso también puede parecer una distinción artificial, ya que una "herramienta" no es un "objeto" ? La topología geométrica está muy motivada por los fenómenos de baja dimensión, y la noción misma de que los fenómenos de baja dimensión son especiales se debe a la existencia de una gran herramienta llamada el truco de Whitney, que permite convertir fácilmente ciertos problemas de la teoría múltiple en problemas algebraicos (a veces bastante complicados). La cosa es que el truco de Whitney falla en dimensiones$4$y más bajo En ese sentido, la topología geométrica tiene algunas características de un anciano gruñón que realmente está decidido a descubrir algo específico. Y la topología algebraica, en cierto sentido, tiene más el aire de la persona que sigue la disposición natural del terreno desde alguna perspectiva formal.

Por ejemplo, es mucho más común en la comunidad de topología geométrica ir a una charla que es una ilustración de una idea, o un problema ilustrado completamente con ejemplos: generar tablas de nudos o un censo de variedades, o probar una hipótesis mediante un experimento informático, etc.

Pero después de todo lo que se ha dicho, hay muchos vínculos entre estos campos y otros, por lo que con frecuencia es difícil desambiguarlos, excepto de manera artificial.

No estoy seguro de si eso ayuda en absoluto. Pero esa es una primera respuesta genérica.

Tengo la misma pregunta cuando escuché la palabra Topología mientras estudiaba cómo representar una malla en la computadora. Aquí está mi comprensión ahora de la diferencia entre Topología y Geometría. Sin perder la generalidad, tome como ejemplo una malla triangular porque los espacios/complejos pueden encontrar una triangulación.

La topología es una estructura o un marco entre los elementos que se pueden encontrar en un complejo (por ejemplo, una superficie 2D. No hay duda de que el esqueleto del complejo también es un conjunto de elementos (por ejemplo, vértice, borde, cara). Siempre mantengo en cuenta que Topología es un estudio de vecindad para Geometría. Esto fue lo que supe desde el principio. Luego la construcción de espacios, múltiples... etc. son temas más avanzados.

La geometría es el estudio de la realización del esqueleto. Las realizaciones son mapas desde el concepto de espacio múltiple abstracto hasta tu vida real.$R^3$. La más sencilla sería la malla triangular que ha sido muy utilizada por muchas industrias. Las realizaciones son ecuaciones planas para cada cara->triángulo. Todos los esqueletos existen en el mismo espacio simultáneamente.