¿Generando triples pitagóricos usando un nuevo método?

Usar un triángulo rectángulo con longitudes de lado ( a , b , C ) dónde a , b < C , estaba pensando en cómo se puede encontrar el área de un triple pitagórico usando el triple pitagórico justo antes y encontré algo que funcionó para una gran cantidad de triples pitagóricos, 12 r 2 + a k − 1 b k − 1 = a k b k , una fórmula recursiva donde k representa el k th término en una secuencia. Aparentemente, esto genera una secuencia de ternas pitagóricas que no pude encontrar usadas en ninguna otra fórmula. Es importante notar que 12 r 2 es el doble del área de las ternas pitagóricas que se derivan de las longitudes de los lados ( 3 , 4 , 5 ) . Usando esta fórmula podemos encontrar el 1 s t término de conjuntos donde el inradio de cada terna pitagórica es r + r 2 k y la relación entre las longitudes de los lados todavía están definidas por nuestra fórmula recursiva.

Estos 1 s t términos son tripletes con un valor par de a dónde r aumenta en 2 :

( 8 , 15 , 17 ) , ( 12 , 35 , 37 ) , ( dieciséis , 63 , sesenta y cinco ) . . .

Nota: Encontramos esto usando ( 8 , 15 , 17 ) ya que tenemos una fórmula recursiva así como el conocimiento de que r = a + b − a 2 + b 2 2 , que nos permite encontrar las longitudes de los lados de cada terna pitagórica.

Aquí una muestra de lo que generan:

s mi t 1 15 , 8 , 17 33 , 56 , sesenta y cinco 51 , 140 , 149 69 , 260 , 269 s mi t 2 35 , 12 , 37 85 , 132 , 157 135 , 352 , 377 185 , 672 , 697 s mi t 3 63 , dieciséis , sesenta y cinco 161 , 240 , 289 259 , 660 , 709 357 , 1276 , 1325 s mi t 4 99 , 20 , 101 261 , 380 , 461 423 , 1064 , 1145 585 , 2072 , 2153

Parece que no pude encontrar ninguna fórmula similar a esta ni ningún método para generar triples pitagóricos que sigan esta secuencia, estoy buscando una prueba.

Qué quiere decir b r ? ¿Cómo se relaciona tu fórmula recursiva con las secuencias de ternas que has escrito?
Gracias por la sugerencia, ya lo he solucionado.
Tus triples son los caminos superior e inferior en el árbol ternario de las triples pitagóricas.
Para mí, parece que su fórmula no es para generar triples pitagóricos sino para encontrar un área dada por un multiplicador. Además, para los triples primitivos, dada la fórmula de Euclides, et al., el lado A siempre es impar, el lado B siempre es par, y para la mitad de todos los triples, A > B . Hay formas de encontrar triples dada un área si está interesado.
@poetasis tenga en cuenta que el valor de r es conocido por el triple pitagórico en la secuencia y el área, lo que nos permite encontrar las longitudes de los lados, también como antes, hacer que la condición sea verdadera para a < b < c. Los únicos dos conocidos requeridos son (3,4,5) y (8,15,17) ya que tenemos una fórmula recursiva – SpoonedBread Hace 9 minutos
No veo ningún método descrito aquí. Empezando con ( 3 , 4 , 5 ) , paso a paso, exactamente que calculos haces para "generar" otro triple?
@David K, (8,15,17) tiene un radio de 3, por lo que para generar el siguiente triple, que es el primer término de un conjunto, r aumenta en 2, por lo que usa un radio de 5 y el producto de las piernas del triple 8,15, 17 (120) los sustituimos en la fórmula y obtenemos 12(5)^2 + 120 = 420, ya que nos dan el área y el radio, podemos encontrar las longitudes de los lados con bastante facilidad. Dado que este es el primer término de un conjunto, cada término consecutivo en el radio de ese conjunto es 5 + 25 k dónde k representa el k th término en el conjunto. Entonces, aplicando el mismo método, podemos determinar el resto de triples en el conjunto.
¿Es esto significativamente diferente de Una nueva fórmula para generar triples pitagóricos? ? Hay una respuesta a esa pregunta que da una fórmula para generar las ternas pitagóricas que has enumerado aquí (y allá).
@robjohn No entiendes mi pregunta, estoy pidiendo una prueba de mi fórmula, no de una fórmula conocida, también cambié esa pregunta porque quería poner esa por una recompensa, pero cambié de opinión debido a las respuestas ya proporcionadas y en su lugar hizo uno nuevo. Quisiera borrar mi publicación anterior pero no me deja.
¿Prueba de qué fórmula? Si estás hablando de 12 r 2 + a k − 1 b k − 1 = a k b k , eso se responde a la otra pregunta. Si estás hablando de a + b − a 2 + b 2 2 , eso también se responde a la otra pregunta. No veo ninguna otra fórmula mencionada en ninguna de las preguntas. Mencionas "el triple pitagórico justo antes" de otro; ¿Cómo se determina el triple "justo antes" de otro?
-1 Esto es un lío incoherente. Votar para cerrar tan pronto como expire la recompensa.
La recompensa se otorgará por defecto en 1 hora. Seré el predeterminado, pero solo obtendré la mitad a menos que lo otorgue a la respuesta que eligió como "correcta".

Respuestas (3)

Su fórmula genera triples pitagóricos pero pierde la mayoría de ellos y parece requerir semillas para funcionar.

No estoy seguro de lo que estás generando. Generas triples donde C − A = 2 en la primera columna, pero que se puede generar más fácilmente por A = 4 norte 2 − 1 B = 4 norte C = 4 norte 2 + 1. El resto de la tabla no muestra ningún patrón que yo pueda ver, como una diferencia lateral constante dentro de un conjunto o un incremento constante de valores laterales dentro de un conjunto. La siguiente fórmula genera todas las primitivas y algunas que no lo son, pero hay una constante C − B = ( 2 norte − 1 ) 2 y A norte + 1 − A norte = 2 ( 2 norte − 1 ) . Es la fórmula que se obtiene cuando A = ( 2 norte − 1 + k ) 2 − k 2 ,   B = 2 ( 2 norte − 1 + k ) k ,   C = ( 2 norte − 1 + k ) 2 + k 2

A = ( 2 norte − 1 ) 2 + 2 ( 2 norte − 1 ) k B = 2 ( 2 norte − 1 ) k + 2 k 2 C = ( 2 norte − 1 ) 2 + 2 ( 2 norte − 1 ) k + 2 k 2
Aquí una muestra de lo que genera
norte k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 S mi t 1 3 , 4 , 5 5 , 12 , 13 7 , 24 , 25 9 , 40 , 41 S mi t 2 15 , 8 , 17 21 , 20 , 29 27 , 36 , 45 33 , 56 , sesenta y cinco S mi t 3 35 , 12 , 37 45 , 28 , 53 55 , 48 , 73 sesenta y cinco , 72 , 97 S mi t 4 63 , dieciséis , sesenta y cinco 77 , 36 , 85 91 , 60 , 109 105 , 88 , 137 S mi t 5 99 , 20 , 101 117 , 44 , 125 135 , 72 , 153 153 , 104 , 185
Su fórmula genera la primera columna pero nada con un patrón que pueda ver en las otras celdas. Si desea trabajar con áreas, hay una lista de ellas aquí . Si puede averiguar cómo generar esta secuencia, puedo mostrarle cómo encontrar todos los 1 ,   2 ,  o  3   triples que corresponden a cada área.

En esta respuesta , pude generar la tabla dada en estas preguntas, pero no puedo descifrar qué fórmula se usa en estas preguntas para generar esta tabla.
@robjohn Puedo ver que parece que ha replicado la tabla en el OP y le ha agregado un conjunto cero. Mi respuesta, dada antes de la recompensa, simplemente dice que OP estaba incompleto como indicaste con ( 21 , 20 , 29 ) . En cuanto a "esta" tabla, di la fórmula justo encima de la tabla. Es el subconjunto donde GRAMO C D ( A , B , C ) = ( 2 metro − 1 ) 2 , metro ∈ norte que incluye "todas" las primitivas donde GRAMO C D ( A , B , C ) = 1. Los números norte , k son números naturales y no se generan triviales.
(+1) Su tabla está completa. Has completado los conjuntos de la pregunta para cubrir todas las ternas pitagóricas. Cada conjunto, tanto en su respuesta como en la pregunta, tiene una "hipotenusa menos el cateto par" constante (siendo esta diferencia el cuadrado de un entero impar). Como puede ver en mi respuesta, solo una fracción de todos los triples están cubiertos en conjuntos ≥ 1 (colocar 0 cubre todos los triples que tienen hipotenusa menos cateto par igual a 1 ). Cuanto mayor sea el conjunto, menor será la cobertura en los conjuntos de la pregunta.
@robjohn ( C − B ) siempre es un cuadrado impar para los primitivos pero para la mitad de todos los triples, A > B . La tabla OP puede estar incompleta, pero creo que mi segunda respuesta aborda la pregunta.
No estoy diciendo que algo esté mal con tu respuesta. Tu respuesta cubre todas las ternas pitagóricas. Sí, la hipotenusa menos el cateto par es siempre un cuadrado impar. Es el mismo cuadrado impar para todos los triples en cada colocar k , y aumenta en 2 por cada sucesiva colocar k . La otra parte de mi comentario fue sobre el porcentaje de cobertura por cada sucesiva colocar k en la pregunta (no su respuesta); el porcentaje de cobertura generalmente se vuelve más pequeño a medida que k aumenta

Esta fórmula generará tu tabla.

A = ( 2 norte − 1 ) 2 + 2 ( 2 norte − 1 ) k B = 2 ( 2 norte − 1 ) k + 2 k 2 C = ( 2 norte − 1 ) 2 + 2 ( 2 norte − 1 ) k + 2 k 2

si cuenta con lo siguiente ( norte , k ) valores

X T mi r metro 1 T mi r metro 2 T mi r metro 3 T mi r metro 4 T mi r metro 5 S mi t 1 ( 1 , 1 ) ( 1 , 2 ) ( 1 , 3 ) ( 1 , 4 ( 1 , 5 ) S mi t 2 ( 2 , 1 ) ( 2 , 4 ) ( 2 , 7 ) ( 2 , 10 ) ( 2 , 13 ) S mi t 3 ( 3 , 1 ) ( 3 , 6 ) ( 3 , 11 ) ( 3 , dieciséis ) ( 3 , 21 ) S mi t 4 ( 4 , 1 ) ( 4 , 8 ) ( 4 , 15 ) ( 4 , 22 ) ( 4 , 29 ) S mi t 5 ( 5.1 ) ( 5 , 10 ) ( 5 , 19 ) ( 5 , 28 ) ( 5 , 37 ) S mi t 6 ( 6 , 1 ) ( 6 , 12 ) ( 6 , 23 ) ( 6 , 34 ) ( 6 , 45 )
`

Para lograr esto reemplazamos k por ( ( 2 norte − 1 ) ( k − 1 ) + 1 )

A = ( 2 norte − 1 ) 2 + 2 ( 2 norte − 1 ) ( ( 2 norte − 1 ) ( k − 1 ) + 1 ) B = 2 ( 2 norte − 1 ) ( ( 2 norte − 1 ) ( k − 1 ) + 1 ) + 2 ( ( 2 norte + − ) ( k − 1 ) + 1 ) 2 . C = ( 2 norte − 1 ) 2 + 2 ( 2 norte − 1 ) ( ( 2 norte − 1 ) ( k − 1 ) + 1 ) + 2 ( ( 2 norte − 1 ) ( k − 1 ) + 1 ) 2

y el resultado es

X k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 k = 5 S mi t 1 ( 3 , 4 , 5 ) ( 5 , 12 , 13 ) ( 7 , 24 , 25 ) ( 9 , 40 , 41 ) ( 11 , 60 , 61 ) S mi t 2 ( 15 , 8 , 17 ) ( 33 , 56 , sesenta y cinco ) ( 51 , 140 , 149 ) ( 69 , 260 , 269 ) ( 87 , 416 , 425 ) S mi t 3 ( 35 , 12 , 37 ) ( 85 , 132 , 157 ) ( 135 , 352 , 377 ) ( 185 , 672 , 697 ) ( 235 , 1092 , 1117 ) S mi t 4 ( 63 , dieciséis , sesenta y cinco ) ( 161 , 240 , 289 ) ( 259 , 660 , 709 ) ( 357 , 1276 , 1325 ) ( 413 , 1716 , 1765 ) S mi t 5 ( 99 , 20 , 101 ) ( 261 , 380 , 461 ) ( 423 , 1064 , 1145 ) ( 585 , 2072 , 2153 ) ( 747 , 3404 , 3485 ) S mi t 6 ( 143 , 24 , 145 ) ( 385 , 552 , 673 ) ( 627 , 1564 , 1685 ) ( 869 , 3060 , 3181 ) ( 1111 , 5040 , 5161 )
`

Actualizar . Estrictamente hablando, esta fórmula no es recursiva en el sentido de que ningún triple depende de otro. Puede ser visto como recursivo, sin embargo, porque k X = k X − 1 + ( 2 norte − 1 ) .

por ejemplo, para S mi t 3 ,   dónde ( 2 norte − 1 ) = 5 ,   para la columna uno, k 0 = 1 + ( 1 − 1 ) ( 5 ) = 1 , para la columna dos k 1 = k 0 + ( 2 − 1 ) ( 5 ) = k 0 + 5 = 6 , para la columna tres   k 2 = k 0 + ( 3 − 1 ) ( 5 ) = 1 + ( 5 + 5 ) = ( 1 + 5 ) + 5 = k 1 + 5 = 11 ,   etc.

Para implementar esta recursividad, dejamos que el primer triple T 1 en cada conjunto ser

A = 4 norte 2 − 1 B = 4 norte C = 4 norte 2 + 1
y deja que todos los demás T X ser
A = ( 2 norte − 1 ) 2 + 2 ( 2 norte − 1 ) k X B = 2 ( 2 norte − 1 ) k X + 2 k X 2 C = ( 2 norte − 1 ) 2 + 2 ( 2 norte − 1 ) k X + 2 k X 2
dónde k X = k ( X − 1 ) + ( 2 norte − 1 )

Aunque los triples pitagóricos que produce mi fórmula coinciden con esto, no muestra la prueba de su recursividad.
@SpoonedBread ¿Qué es la reclusión?
lo siento mira de nuevo
@SpoonedBread Revise mi actualización.
@SpoonedBread Gracias por aceptar mi respuesta. ¿También elige otorgar la recompensa o esperar 2 días más para ver si alguien publica una respuesta aún mejor? Mi publicación fue adecuada pero apenas tan rigurosa como me imagino que podría ser.
Esperaré 2 días más, pero por ahora su respuesta es la más favorable.
@ Pan de Cuchara. Buen pensamiento. Yo también esperaría a ver si llegaba un tratamiento más riguroso.
@ Pan de Cuchara. Todavía tengo curiosidad por saber por qué desea estos "conjuntos" particulares de triples, ya que a todos menos al primero le faltan la mayoría de los primitivos con los "saltos" entre los valores de "k" que de otro modo se incrementarían en uno en lugar de ( 2 norte − 1 ) .
Espero encontrar una prueba geométrica que pueda explicar de alguna manera este patrón. (Aunque preferiría encontrarlo por mi cuenta).
@SpoonedBread Problema desafiante. Tal vez una de estas imágenes pueda darle una idea para un enfoque. Mi correo electrónico está en mi perfil si desea hablar fuera del foro.

Necesitamos escribir en términos generales la ecuación más general:

a X 2 + b X Y + C Y 2 = j Z 2

Aunque he registrado soluciones de fórmulas, pero veo que es de interés expresar soluciones utilizando cualquiera de las soluciones conocidas.

Si sabemos cuál es la solución: ( X , y , z ) - entonces puedes escribir una fórmula para las soluciones de esta ecuación.

X = j X t 2 − C X k 2 + 2 ( C y k − j z t ) s + ( b y + a X ) s 2

Y = j y t 2 − 2 j z t k + ( C y + b X ) k 2 + 2 a X k s − a y s 2

Z = j z t 2 − ( b X + 2 C y ) k t + C z k 2 + ( b z k − ( 2 a X + b y ) t ) s + a z s 2

k , t , s - cualquier entero nos pidió.

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