Encontrar tripletas pitagóricas, con una conjetura.

Un triángulo rectángulo con lados de longitudes enteras ( a , b , C dónde a < b < C ) se puede encontrar (hasta cierto punto) con el radio interior ( r ), las fórmulas del área de un triángulo y el teorema de Pitágoras.

Los usamos para encontrar una relación entre r y los lados de a y b .

a 2 + b 2 = C 2

a 2 = C 2 − b 2

a 2 = ( C + b ) ( C − b )

Ahora podemos sub 2 expresiones que son equivalentes a C + b y C − b en el teorema:

Fórmula del radio interior:

r = ( a + b − C ) / 2

2 r = a + b − C

2 r − a = b − C

a − 2 r = C − b

Fórmula del radio interior multiplicado por el semiperímetro (una fórmula para el área en triángulos rectángulos):

a b / 2 = r ( a + b + C ) / 2

a b = r ( a + b + C )

a b / r = a + b + C

a b / r − a = b + C

Ahora podemos sustituir C − b y b + C .

a 2 = ( a b / r − a ) ( a − 2 r )

que cuando se reordena es:

b = 2 r ( a − r ) a − 2 r

Si sustituimos en cualquier valor de a podemos crear una función en términos de b y r dónde b = b ( r )

Por ejemplo, escribamos esto para la terna pitagórica, donde a = 3.

b ( r ) = 2 r ( 3 − r ) / 3 − 2 r ,

Podemos conjeturar que solo hay un valor entero positivo de b dónde r es también un número entero dentro del dominio de 0 < r < a / 2 , lo que significa que podemos encontrar una solución directa para ambos b y r graficando.

https://www.desmos.com/calculator/zzxbryrahc

Nota: Si miras cuando r es 1 , verás que b es 4 , lo cual es cierto en el caso de una terna pitagórica con lados de ( 3 , 4 , 5 ).

Mi pregunta es si hay una manera de disminuir el número de posibilidades más que simplemente 0 < r < a / 2 este método sería casi imposible sin el uso de una calculadora gráfica para triples pitagóricos más grandes. Cualquier otra forma de mejorar esto sería muy apreciada.

si has asumido a < b < C entonces b 2 − C 2 < 0 por lo que su segunda línea no puede sostener. Sería bueno revisar sus primeras tres ecuaciones y asegurarse de que todas sean consistentes con a < b < C .
La mitad de todas las ternas pitagóricas tienen a > b , como ( 15 , 8 , 17 ) ( 21 , 20 , 29 )   ⋯ y C − b para todas las primitivas es un cuadrado impar.
@cafemath El b 2 − C 2 También me estaba volviendo loco, así que lo arreglé. Estoy seguro de que fue un error tipográfico y podría haberlo dejado pasar porque a menudo es malo hacer pequeñas ediciones, pero esta tenía que ser una distracción para cualquiera que leyera.

Respuestas (2)

Tienes

b = 2 r ( a − r ) a − 2 r

Puedes reescribir esto como:

b = r − a 2 + a 2 2 ( a − 2 r )

Para que esto sea un número entero, quieres a 2 ser divisible por a − 2 r . Así que si a está dado, busca los divisores d | a 2 para cual d < a , y luego deja r = a − d 2 . Por supuesto, también desea que sea un número entero, por lo que también desea d tener la misma paridad son a .

Tenga en cuenta que no todos estos divisores funcionarán necesariamente, no solo porque no siempre dan una solución entera debido a esas mitades en la expresión, sino también porque no hay garantía de que incluso con números enteros a , b y r que en realidad dan un triángulo pitagórico.

Todo esto es fácil de hacer incluso para muy grandes a siempre que tenga su descomposición en factores primos.

Esto también sugiere que habrá varios valores de r que podría funcionar con más grande a , por lo que su conjetura probablemente sea falsa incluso cuando se restringe solo a los triángulos pitagóricos.

Editar:
tenga en cuenta que los triángulos pitagóricos siempre tienen un radio entero, por lo que su conjetura esencialmente dice que no hay dos triángulos pitagóricos que tengan el mismo lado más corto. Aquí hay dos triángulos pitagóricos (primitivos) con el mismo lado más corto: ( 20 , 21 , 29 ) y ( 20 , 99 , 101 ) . Aquí hay otro par que comparte un lado más corto con una longitud impar: ( 105 , 208 , 233 ) y ( 105 , 608 , 617 ) .

Si bien no está directamente relacionado con su método, algunos puntos que me gustaría dar son que este es el caso del último teorema de Fermat con norte = 2 y entonces podría usar parte de la prueba de eso para encontrar valores, lo que se deriva del hecho de que podemos decir:

a 2 + b 2 = C 2 ⇒ ( a / C ) 2 + ( b / C ) 2 = 1
entonces es equivalente a tratar de encontrar coordenadas enteras ( a / C , b / C ) en un círculo unitario.

También existe la fórmula de Euclides para la cual dos números enteros positivos metro , norte son coprimos y dan:

( a b C ) = ( metro 2 − norte 2 2 metro norte metro 2 + norte 2 )
Aunque con esto no encontrarás todas las ternas pitagóricas que existen.

- ¿Qué quieres decir con "este es el caso de FLT con n=2"? Anby "esto no encontrará todos los existentes
- ¿Qué quieres decir con "este es el caso de FLT con n=2"? - ¿Y por "esto no encontrará todas las ternas pitagóricas existentes"? Llame a estos triples "primitivos" si a , b , C no tienen factor común. Si metro > norte son dos enteros positivos relativamente primos, no ambos impares, entonces a = metro 2 − norte 2 , b = 2 metro norte , C = metro 2 + norte 2 forman una terna pitagórica primitiva, y todas las ternas pitagóricas primitivas se obtienen de esta manera.
Encontrar tripletas pitagóricas, con una conjetura.
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