¿Se puede visualizar la teoría de números?

Una gema brillante en la intersección de la teoría de números y la geometría es la generación reflexiva de Aubry de triples pitagóricos primitivos , es decir, coprimos naturales.$\,(x,y,z)\,$con$\,x^2 + y^2 = z^2.\,$dividiendo por$z^2$rendimientos$\,(x/z)^2\!+(y/z)^2 = 1,\,$por lo que cada triple corresponde a un punto racional$(x/z,\,y/z)$en el círculo unitario. Aubry demostró que podemos generar todas esas ternas mediante un proceso geométrico muy simple. Empezar con el punto trivial$(0,-1)$. Dibujar una línea hasta el punto$\,P = (1,1).\,$Interseca a la circunferencia en el punto racional.$\,A = (4/5,3/5)\,$dando el triple$\,(3,4,5).\,$Luego refleja el punto$\,A\,$en los otros cuadrantes tomando todos los signos posibles de cada componente, es decir$\,(\pm4/5,\pm3/5),\,$produciendo el rectángulo inscrito a continuación. Como antes, la línea a través$\,A_B = (-4/5,-3/5)\,$y$P$corta el círculo en$\,B = (12/13, 5/13),\,$dando el triple$\,(12,5,13).\,$Del mismo modo los puntos$\,A_C,\, A_D\,$dar los triples$\,(20,21,29)\,$y$\,(8,15,17),\,$
Podemos iterar este proceso con los nuevos puntos.$\,B,C,D\,$haciendo lo mismo que hicimos por$\,A,\,$obteniendo más triples. Por inducción este proceso genera las ternas primitivas como un árbol ternario

$\qquad\qquad$
El descenso en el árbol viene dado por la fórmula (cuya génesis geométrica reflexiva se da a continuación)

p.ej$\ (12,5,13)\mapsto (12,5,13)-8(1,1,1) = (-3,4,5),\ $flexible$\,(4/5,3/5)\,$cuando se refleja en el primer cuadrante.

El ascenso en el árbol se realiza invirtiendo este mapa, combinado con reflejos triviales que cambian de signo:

$\quad\quad (-3,+4,5) \,\mapsto\, (-3,+4,5) - 2 \; (-3+4-5) \; (1,1,1) = ( 5,12,13)$

$\quad\quad (-3,-4,5) \,\mapsto\, (-3,-4,5) - 2 \; (-3-4-5) \; (1,1,1) = (21,20,29)$

$\quad\quad (+3,-4,5) \,\mapsto\, (+3,-4,5) - 2 \; (+3-4-5) \; (1,1,1) = (15,8,17)$

Continuando de esta manera, podemos generar reflexivamente todo el árbol de tripletas pitagóricas primitivas, por ejemplo, el borde superior del árbol de triples corresponde al ascendente$C$-línea en zigzag inscrita$(-1,0), (3/5,4/5), (-3/5,4/5), (5/12,12/13), (-5/12,12/13), (7/25,24/25), (-7/25,24/25) \ldots$

Veamos un poco más de cerca la geometría subyacente. Considere el espacio cuadrático$Z$de la forma$Q(x,y,z) = x^2 + y^2 - z^2\,$con producto interior lorentziano$(Q(x\!+\!y)-Q(x)-Q(y))/2\,$dada por

$\qquad v \cdot u\, =\, v_1 u_1 + v_2 u_2 - v_3 u_3.\ \ $Recuerda que el reflejo de$v$en$u$es dado por

$\quad\quad v\, \mapsto\, v - 2 \dfrac{v \cdot u}{u \cdot u} u \quad$La reflectividad es clara:$\; u \mapsto -u$, y$\; v \mapsto v$si$\; v\perp u, \;$es decir$v\cdot u = 0$.

Con$\; v = (x,y,z)$y$\; u = (1,1,1)$de norma$1$tenemos

$\quad\quad (x,y,z)\; \mapsto (x,y,z) - 2 \dfrac{(x,y,z)\cdot(1,1,1)}{(1,1,1)\cdot(1,1,1)} (1,1,1)$

$\qquad\qquad\qquad =\, (x,y,z) - 2 \; (x\!+\!y\!-\!z) \; (1,1,1)$

$\qquad\qquad\qquad =\, (-x\!-\!2y\!+\!2z, \; -2x\!-\!y\!+\!2z, \; -2x\!-\!2y\!+\!3z)$

Esta es la reflexión no trivial que efectúa el descenso en el árbol de triples. Dicho más simplemente:si$\,x^2 + y^2 = z^2\,$entonces$\,(x/z, y/z)\,$es un punto racional$P$en el circulo unitario$C$entonces un simple cálculo muestra que la línea a través de$P$y$(1,1)$se cruza$C$en un punto racional más pequeño , dado proyectivamente a través de la reflexión anterior.

Esta técnica se generaliza fácilmente a la forma$x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_{n-1}^2 = x_n^2$para$4 \le n \le 9$, pero para$n \ge 10$las n-tuplas pitagóricas caen en al menos$[(n+6)/8]$órbitas distintas bajo el grupo de automorfismo de la forma - ver Cass & Arpaia (1990) [1]

También hay generalizaciones a diferentes formas que fueron utilizadas por primera vez por L. Aubry (Sphinx-Oedipe 7 (1912), 81-84) para dar pruebas elementales de la$3$&$4$teorema del cuadrado (ver Apéndice 3.2 p. 292 de Weil's: Number Theory an Approach Through History ). Estos resultados muestran que si un número entero es representado por una forma racionalmente, entonces también debe serlo integralmente. El método también se aplica a las siguientes formas$x^2+y^2, x^2 \pm 2y^2, x^2 \pm 3y^2, x^2+y^2+2z^2, x^2+y^2+z^2+t^2,\ldots$Más precisamente, esencialmente la misma prueba que para los triples pitagóricos muestra

Teorema Supongamos que el$n$-forma cuadrática aria$F(x)$tiene coeficientes integrales y no tiene un cero no trivial en${\mathbb Z}^n$, y supongamos que para cualquier$x \in {\mathbb Q}^n$hay$\,y \in {\mathbb Z}^n$tal que$\; |F(x\!-\!y)| < 1$. Entonces$F$representa$m$encima$\mathbb Q$ $\iff$ $F$representa$m$encima$\mathbb Z$, para todos los enteros distintos de cero$m$.

La condición$|F(x\!-\!y)| < 1$está estrechamente relacionado con el algoritmo de Euclides. De hecho, hay un análogo de campo de función que emplea el algoritmo euclidiano que fue redescubierto de forma independiente por Cassels en 1963:un polinomio es una suma de$n$cuadrados en$k(x)$si lo mismo ocurre en$k[x]$. Pfister inmediatamente aplicó esto para obtener una solución completa del problema de nivel para campos. Poco después, generalizó el resultado de Cassel a formas cuadráticas arbitrarias, fundando la teoría algebraica moderna de las formas cuadráticas ("formas de Pfister").

Los resultados de Aubry son, de hecho, casos muy especiales de los resultados generales de Wall, Vinberg, Scharlau et al. sobre redes reflexivas , es decir, grupos aritméticos de isometrías generadas por reflexiones en hiperplanos. Generalmente los reflejos generan el grupo ortogonal de formas cuadráticas de Lorentz en dim$< 10$.

[1] Daniel Cass; Pasquale J. Arpaia
Generación de matrices de n-tuplas pitagóricas.
proc. Amer. Matemáticas. Soc. 109, 1, 1990, 1-7.

Hay un área llamada geometría aritmética que explota los vínculos entre las cuestiones aritméticas y algebro-geométricas.

Por ejemplo, las famosas ecuaciones de Fermat$X^n + Y^n = Z^n$puede pensarse como una curva en el espacio proyectivo, llamada curvas de Fermat , y uno puede usar herramientas geométricas para estudiarla.

La parte afín, por lo que$X^n + Y^n = 1$está en algún lugar entre un círculo y un cuadrado; Para pequeños$n$cerca de un círculo (bueno para$n=2$por supuesto es un círculo, pero esto no es relevante para FLT) y para grandes$n$se acerca a una forma cuadrada.

El álgebra de Clifford, también conocida como álgebra geométrica, es la confluencia sinérgica más extraordinaria de una amplia gama de campos matemáticos especializados, cada uno con sus propios métodos y formalismos, todos los cuales encuentran un único formalismo unificado en el álgebra de Clifford. Es un lenguaje unificador para las matemáticas y un lenguaje revelador para la física.

Álgebra de Clifford: una introducción visual

No es una respuesta, pero quizás una buena contribución a la discusión. Esto es de la página 261 del brillante Genius at Play de Siobhan Robert , una biografía de John H. Conway. Ella está citando a Conway:

Cuando estuvimos trabajando por primera vez en el ATLAS [de grupos finitos], no lo apreciamos mucho. Así que no lo harás. Creo que es mejor alejarse de explicar las cosas con números. Uso números de mala gana. Es la única forma en que puedo resolver las cosas hermosas de estos grupos. Haría otra cosa, dibujar imágenes si pudiera, pero no puedo dibujar cosas hermosamente simétricas en espacios de 7 dimensiones... Para mí, los números son un sustituto del tacto, la vista, todo lo demás. Con el espacio de alta dimensión no puedo tocarlo, no puedo sentirlo, no puedo verlo. Puedo calcularlo, pero el cálculo no es el punto. Los números son un conjunto de instrucciones. Un conjunto de instrucciones no es hermoso, pero eso son los números, un conjunto de instrucciones, punto por punto.

https://en.wikipedia.org/wiki/ATLAS_of_Finite_Groups

http://www.amazon.com/Atlas-Finite-Groups-Subgroups-Characters/dp/0198531990

http://www.amazon.com/Genius-At-Play-Curious-Horton/dp/1620405938