Coincidencia en la parametrización de solución diofántica para ternas pitagóricas, etc.

Question

Coincidencia en la parametrización de solución diofántica para ternas pitagóricas, etc.

Matemáticas
teoría de los números
formas cuadráticas
triples pitagóricos
ecuaciones diofánticas

ShreevatsaR

Considere un triple de enteros no negativos $(a, b, c)$ tal que $c^2 = a^2 + b^2$ . Esto se puede ver como triángulos enteros con lados $(a, b, c)$ tal que $c$ es el lado opuesto a $90°$ ángulo. Estos triples son bien conocidos como triples pitagóricos , y es bien conocido (llamado fórmula de Euclides en Wikipedia ) que todos estos primitivos (es decir, $\gcd(a, b, c) = 1$ ) los triples se pueden parametrizar como:

\begin{aligned} a & = {metro}^{2} - {norte}^{2} \\ b & = 2 metro norte \\ C & = {metro}^{2} + {norte}^{2} \end{aligned}

$\begin{align} a &= m^2 - n^2 \cr b &= 2mn \cr c &= m^2 + n^2 \end{align}$

Siempre me pareció un poco divertido (y ocasionalmente confuso) que empezáramos a tratar de encontrar una parametrización para triples donde $c^2$ fue una suma de dos cuadrados, y obtuvo una parametrización donde $c$ sí mismo es una suma de dos cuadrados, es decir, tiene la misma forma.

Hoy me encontré con el problema de los triples no negativos. $(a, b, c)$ tal que $c^2 = a^2 + b^2 + ab$ . Esto se puede ver como triángulos enteros con lados $(a, b, c)$ tal que $c$ es el lado opuesto a $120°$ ángulo. Dichos triples se denominan triples 1-pitagóricos en OEIS , triples de Eisenstein en este documento y triples "tritagóricos" en esta publicación de blog . Cualquiera que sea el nombre, resulta que todos esos triples primitivos se pueden parametrizar (ver esta página muy bonita ) como:

\begin{aligned} a & = {norte}^{2} - {metro}^{2} \\ b & = {metro}^{2} + 2 metro norte \\ C & = {metro}^{2} + metro norte + {norte}^{2} \end{aligned}

$\begin{align} a &= n^2 - m^2 \cr b &= m^2 + 2mn \cr c &= m^2 + mn + n^2 \end{align}$

dónde $m < n$ tal que $\gcd(m,n)=1$ y $m≢n \pmod 3$ .

Esto es espeluznante: buscamos triples tales que $c^2$ era de la forma $a^2 + ab + b^2$ , y resulta que $c$ en sí mismo es de una forma similar, $c = m^2 + mn + n^2$ .

Pregunta: ¿Es esto sólo una coincidencia? Si no, ¿qué está pasando? ¿Cuál es el tipo de problema más general para el cual esto (sea lo que sea “esto”) es cierto?

Hay un método general para ecuaciones diofánticas homogéneas de grado dos , pero aún no he probado otras ecuaciones. Además, aunque a veces la forma parezca diferente, en realidad no lo es, por ejemplo, la misma página parametriza soluciones a $c^2 = a^2 + b^2 - ab$ (correspondiente a $60°$ ángulos) como $c = m^2 + n^2 + mn$ que parecería ser un contraejemplo, pero reemplazando cualquiera $m$ con $-m$ o $n$ con $-n$ da $m^2 + n^2 - mn$ así que no estoy seguro.

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Will Jagy · Answer 1

Duplicación de Gauss.

A^{2} + A B + 41 B^{2} = C^{2}

$A^2 +AB + 41 B^2 = C^2$

A = X^{2} - 41 y^{2}

$A = x^2 - 41 y^2$

B = 2 X y + y^{2}

$B = 2xy + y^2$

C = X^{2} + X y + 41 y^{2}

$C = x^2 + xy + 41 y^2$

Si tiene un número de clase mayor que uno, más opciones; podemos resolver $A^2 + 6 B^2 = C^2,$ dónde $C = 2x^2 + 3 y^2 \; . \;$ O $A^2 + 5 B^2 = C^2,$ dónde $C = 2 x^2 + 2xy + 3 y^2.$

¡Gracias! El primero es un buen ejemplo. Desafortunadamente, esto es un poco como una "prueba de conocimiento cero" para mí: puedo decir que sabes la respuesta, pero parece que no he aprendido nada. :-) ¿Podría explicar con más detalle o señalar algunos recursos apropiados?
Debería poder encontrar a David A. Cox, Primes of the Form $x^2 + n y^2.$ Acerca de la descripción de Dirichlet de la composición de Gauss, hay un error tipográfico en la primera edición, corregido en la segunda. En resumen, dadas dos formas cuadráticas binarias primitivas del mismo discriminante, podemos multiplicar los valores y representar ese producto por la composición de las dos formas. Su pregunta es cuando las tres formas son la forma principal. en.wikipedia.org/wiki/Binary_quadratic_form
Gracias... Intentaré leer más. De un vistazo rápido al 3.8 de Cox, lo que entiendo es que si un número $p$ está representado por alguna forma cuadrática binaria primitiva $f$ , y el número $q$ por formulario $g$ , entonces su producto $pq$ por la forma que es la composición de $f$ y $g$ ; aquí en estos casos (si entiendo bien) $p=q=c$ , y $f = g$ , y sucede que la composición es ella misma. Pero eso parece ir en una dirección; lo que no es obvio es que, por ejemplo, cada $c$ de la forma $a^2 + b^2 + ab$ es el cuadrado de un número de la misma forma (es decir, no hay otra forma de obtenerlo).
Para decirlo de otra manera: creo que puedo creer que si $c$ siempre está representado por una forma cuadrática binaria, entonces tiene que ser la misma que para $c^2$ (cuando este último no se puede obtener como una composición de otra manera), pero no es obvio para mí por qué el genérico $c$ tiene que tener esa forma en primer lugar.
@ShreevatsaR (I) un ejercicio que sugerí en mi respuesta fue $a^2 + 5 b^2 = c^2,$ con $a = 2u^2 + 2uv-2v^2 \; , \;$ $b = 2uv+v^2 \; , \;$ $c = 2u^2 + 2uv+3v^2 \; . \;$ (II) El hecho de que $a,b,c$ salen como formas binarias en primer lugar se remonta a Fricke y Klein (1897). En pocas palabras, conocemos todos los automorfismos de $y^2 - zx,$ y encontramos el vector cero s de nuestra forma con Hessian G resolviendo $P^T G P = n H,$ dónde $H$ es la arpillera de $y^2 - zx.$ Consulte math.stackexchange.com/questions/1972120/…
@ShreevatsaR Gran parte del material apropiado en Fricke y Klein se escribió en inglés, Wilhelm Magnus, Noneuclidian Tesselations and Their Groups. (1974). Encontrar el grupo completo de automorfismos de una forma cuadrática es un trabajo mucho más grande que simplemente encontrar los vectores "cero", como lo he estado haciendo.

Will Jagy · Answer 2

El ejemplo que me gusta mostrar es resolver

2 (X^{2} + y^{2} + z^{2}) - 113 (y z + z X + X y) = 0,

$2(x^2 + y^2 + z^2) - 113(yz + zx + xy)=0,$ cuatro "recetas", todas compuestas de formas cuadráticas binarias

(\begin{array}{r} X \\ y \\ z \end{array}) = (\begin{array}{r} 37 {tu}^{2} + 51 tu v + 8 v^{2} \\ 8 {tu}^{2} - 35 tu v - 6 v^{2} \\ - 6 {tu}^{2} + 23 tu v + 37 v^{2} \end{array})

$\left( \begin{array}{r} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{r} 37 u^2 + 51 uv + 8 v^2 \\ 8 u^2 -35 uv -6 v^2 \\ -6 u^2 + 23 uv + 37 v^2 \end{array} \right)$

(\begin{array}{r} X \\ y \\ z \end{array}) = (\begin{array}{r} 32 {tu}^{2} + 61 tu v + 18 v^{2} \\ 18 {tu}^{2} - 25 tu v - 11 v^{2} \\ - 11 {tu}^{2} + 3 tu v + 32 v^{2} \end{array})

$\left( \begin{array}{r} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{r} 32 u^2 + 61 uv + 18 v^2 \\ 18 u^2 -25 uv -11 v^2 \\ -11 u^2 + 3 uv + 32 v^2 \end{array} \right)$

(\begin{array}{r} X \\ y \\ z \end{array}) = (\begin{array}{r} 38 {tu}^{2} + 45 tu v + 4 v^{2} \\ 4 {tu}^{2} - 37 tu v - 3 v^{2} \\ - 3 {tu}^{2} + 31 tu v + 38 v^{2} \end{array})

$\left( \begin{array}{r} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{r} 38 u^2 + 45 uv + 4 v^2 \\ 4 u^2 -37 uv -3 v^2 \\ -3 u^2 + 31 uv + 38 v^2 \end{array} \right)$

(\begin{array}{r} X \\ y \\ z \end{array}) = (\begin{array}{r} 29 {tu}^{2} + 63 tu v + 22 v^{2} \\ 22 {tu}^{2} - 19 tu v - 12 v^{2} \\ - 12 {tu}^{2} - 5 tu v + 29 v^{2} \end{array})

$\left( \begin{array}{r} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{r} 29 u^2 + 63 uv + 22 v^2 \\ 22 u^2 -19 uv -12 v^2 \\ -12 u^2 -5 uv + 29 v^2 \end{array} \right)$

Para las cuatro recetas,

X^{2} + y^{2} + z^{2} = 1469 {({tu}^{2} + tu v + v^{2})}^{2}

$x^2 + y^2 + z^2 = 1469 \left( u^2 + uv + v^2 \right)^2$ dando límites efectivos a

u, v

$u,v$ si se da un límite superior en

x^{2} + y^{2} + z^{2}

$x^2 + y^2 + z^2$

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ShreevatsaR

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¿Existe un número cuadrado perfecto n, cuyo valor de Euler Totient también sea un cuadrado perfecto?

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