¿Existe un número cuadrado perfecto n, cuyo valor de Euler Totient también sea un cuadrado perfecto?

Comience con un cuadrado perfecto, indicado como un número entero positivo n . La raíz de este cuadrado es k , otro entero positivo. Así n = k^2 Sea t = totient( n )

¿Hay alguna manera de probar que no existe tal número? Sé que los números primos de Fermat tienen valores totient que son cuadrados, pero ¿qué pasa con los cuadrados perfectos que tienen un cuadrado perfecto como valor totient?

Y de forma más general, ampliando este concepto con una restricción adicional, ¿podemos decir que un valor totient (derivado de un número cuadrado) no formará parte de una terna pitagórica?

norte = t + un

Donde a es otro entero, y es la diferencia entre n y su valor totient.

un = norte - t

En otras palabras, ¿pueden n , t y a ser todos cuadrados perfectos?

Además, si esto es refutable, ¿podemos también refutar el caso de los cuadruples pitagóricos? ¿Dónde los cuadrados perfectos deben sumarse para igualar el valor total de un cuadrado perfecto? ¿Es posible eliminar la restricción de que sea un triple/cuádruple pitagórico y permitir que a no sea cuadrado?

No soy matemático. Soy ingeniero eléctrico y he estado explorando el mundo de la teoría de números. Lo encuentro fascinante y me he planteado esta pregunta, ya que no he visto una respuesta. Creo que es posible que me haya perdido algo simple aquí y que hay una manera "fácil" de demostrar que tales cosas no pueden ser. Tengo mi computadora comprobando por fuerza bruta si algún totients de n también es cuadrado, y llegué a los primeros 10,000 cuadrados perfectos como si no tuvieran un número totient que sea un cuadrado perfecto.

Cualquier idea es apreciada, y lamento la falta de formato y medios formales para formular mi pregunta. Espero que esta pregunta sea clara. En última instancia, quiero saber si existe alguna relación entre los triples / cuádruples pitagóricos (o conjuntos superiores) con la función Totient de Euler. Preguntarse si por "coincidencia" existe tal número, o si es imposible (y por qué). Gracias por tomarte el tiempo de pensar en esto conmigo. Esta es una pregunta relacionada, pero no es mi pregunta: triples pitagóricos que "sobreviven" a la función totient de Euler

Qué pasa 1 .
Buen punto, de hecho, el número uno funciona. Sin embargo, no conduce a la pregunta de seguimiento triple pitagórica.

Respuestas (1)

Además 1 no hay tal ejemplo. Si pag es cualquier divisor primo k 2 con exponente 2 metro entonces φ ( k 2 ) se divide por pag con exponente 2 metro − 1 .

Es fácil de ver a partir de un cálculo directo.

¡Excelente! Muchas gracias. creo que entiendo.
Ahora debo evaluar si es posible que un valor de Totient (derivado de un cuadrado perfecto) se exprese como una suma de cuadrados perfectos únicos. Hemos descartado que no puede ser la suma de un cuadrado, pero ¿puede ser la suma de 2 cuadrados perfectos únicos o de 3, y así sucesivamente? Siento que esta pregunta es más difícil de resolver, pero también podría ser "fácil" de probar/refutar. Buscaré ejemplos, espero que sea un descubrimiento rápido. Gracias por tu contribución.
Sí, encontré un ejemplo: k = 10 Tenemos: totient(10^2)= 40 = 2^2 + 6^2
Ahora, para finalizar esto y poner fin a toda esta pregunta, necesito encontrar un ejemplo (o refutar) de que el resto a = (n - t) también es la suma de cuadrados (o es en sí mismo un cuadrado). Si es así, tendríamos un cuádruple pitagórico (o superior) derivado de los números n, t y a. Creo que esto debería ser posible y buscaré un ejemplo.
@user2664280 ¿Cómo se obtiene 40 de 10 2 ? Quizás totient no es lo que yo entiendo que es.
@poetasis - esto es simple; hacer, por ejemplo en Pari/GP, eulerphi(100)y obtienes 40 . Pero quizás... ;-)
Pero de otro primo, q − 1 puede dar más poderes de pag . Aún así, eso no sucederá con el factor primo más grande pag
@ Empy2 Eso es cierto. Escribí "principal más grande" al principio, pero luego lo adiviné y lo edité.
¿Existe un número cuadrado perfecto n, cuyo valor de Euler Totient también sea un cuadrado perfecto?
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