¿Cómo probar que si c es un entero impar que divide la suma y la diferencia de dos enteros a y b, entonces c divide tanto a a como a b?

Tengo dos preguntas con respecto a esto. Soy nuevo en probar, por lo que esto puede parecer una tontería.

  1. ¿Es mejor probar directamente o usando su contrapositivo? Directamente, podría probar aplicando un poco de álgebra y usando su contrapositiva, tengo que demostrar que c no divide a o c no divide a b daría c no divide su suma y diferencia. Espero que esto sea correcto.
  2. ¿El hecho de que c sea impar tiene algo que ver con la prueba? En caso afirmativo, ¿cómo lo muestro en la prueba? Porque cuando trato de probar usando c como cualquier número entero, obtengo mi respuesta.
" cuando trato de probar usando C como cualquier entero, obtengo mi respuesta " − ¿Cómo es eso? Por ejemplo 2 divide 3 + 1 y 3 − 1 pero tampoco divide 3 ni 1 .
Tenga en cuenta que C = 2 divide la suma y la diferencia de dos enteros impares cualesquiera , pero no divide a ninguno de ellos. Así que definitivamente necesitas la suposición de que C es impar.
Sinceramente, no entiendo el voto cerrado solitario . ¿El contexto no es lo suficientemente claro para aquellos que deberían saberlo mejor? El OP dio sus pensamientos sinceros sobre el problema. ¿Qué más se puede pedir?

Respuestas (3)

C ser impar será importante para la prueba. Aquí hay un contador si C = 2 y a , b son raros entonces a + b , a − b son pares, pero C no se divide a o b .

Aquí hay una prueba directa. C divide a + b significa que existe un entero k 1 tal que a + b = k 1 C . Del mismo modo, existe un número entero k 2 tal que a − b = k 2 C . Sumando ambas ecuaciones, obtenemos que 2 a = ( k 1 + k 2 ) C . Ahora C es raro, sin embargo, 2 a es par, por lo tanto debemos tener que k 1 + k 2 incluso. De este modo a = ( k 1 + k 2 ) 2 C dónde ( k 1 + k 2 ) 2 es un número entero.

Ahora si C no hubiera sido extraño, entonces podríamos haber tenido eso k 1 + k 2 era extraño, entonces ( k 1 + k 2 ) 2 no habría sido un número entero.

Y ahora a = k 3 C . Luego usando a + b = k 1 C , vemos eso b = ( k 1 − k 3 ) C . De este modo, C divide a y b .

Creo que es mejor probar esto directamente .

Suponer que C es raro y eso C ∣ ( a + b ) y C ∣ ( a − b ) donde ambos a y b son números enteros.

Dejar A = a + b y B = a − b . Entonces obtenemos

( ( C ∣ A )  y  ( C ∣ B ) ) ⟹ ( C ∣ ( A + B ) = 2 a ) .
Ahora, desde C es impar, mcd ( C , 2 ) = 1 , lo que implica que C ∣ a .

También obtenemos, de manera similar,

( ( C ∣ A )  y  ( C ∣ B ) ) ⟹ ( C ∣ ( A − B ) = 2 b ) .
Ahora, desde C es impar, mcd ( C , 2 ) = 1 , lo que implica que C ∣ b .

Por lo tanto, concluimos que C divide a ambos a y b .

Esta prueba muestra por qué la condición " C es extraño" es importante para que su argumento funcione, @J'sandK's.
Que quieres decir con C | ( A + B ) = 2 a ? Para mí esta afirmación no está bien definida; 2 a ∈ Z , y C | ( A + B ) es una relación que es verdadera o falsa, por lo que no veo cómo tiene sentido compararlos usando '='
@Joe: Gracias por sus comentarios. es solo una abreviatura de C ∣ ( A + B ) , pero desde A + B = 2 a , entonces C ∣ 2 a . (Así que esto se expresa de manera más compacta como C ∣ ( A + B ) = 2 a . )
¿Es esta notación estándar en teoría de números?

Desde una perspectiva de álgebra lineal, la razón básica de esto es que a + b y a − b formar una base para el lapso de a y b . si tomamos tu = a + b y v = a − b , entonces a = tu + v 2 y b = tu − v 2 . Así que podemos reformular la afirmación como "Si C es un entero impar que divide a ambos tu y v , entonces C divide a ambos tu + v 2 y tu − v 2 ".

Esta afirmación es fácil de probar: la divisibilidad es cerrada bajo suma y resta (es decir, un múltiplo de C más o menos otro múltiplo de C también es múltiplo de C ). Y desde C es impar, no tenemos que preocuparnos por dividir por 2 ; si tu + v es divisible por C , entonces también lo es la mitad de tu + v .

¿Cómo probar que si c es un entero impar que divide la suma y la diferencia de dos enteros a y b, entonces c divide tanto a a como a b?
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