Demostrar una afirmación sobre la variación cuadrática infinita

Si$f$es una función continua definida en$[0,1]$que tiene la siguiente propiedad:

$\forall M >0$,$\forall p \in Q\cap[0,1)$,$\exists q \in Q\cap[0,1]$y$q > p$tal que$|f(p) - f(q)| > M\sqrt{|p-q|}$.

¿Es posible demostrar que$f$tiene variación cuadrática infinita? es decir

dónde$S = \{(a_1, a_2, \cdots, a_n) : 0 =a_1 < a_2 < \cdots <a_n =1, a_i\in Q \cap[0,1]\}$y$QV^{\Delta}(f)$es definido por$\sum_{i=1}^{n-1}|f(a_{i+1}) - f(a_i)|^2$para$\Delta = (a_1, a_2, \cdots, a_n)$

Tengo esta pregunta cuando me pregunto si es posible probar que el movimiento browniano estándar$B_t$es casi seguro que tiene una variación cuadrática infinita simplemente por el hecho de que$\limsup_{t \to 0} \frac{B_t}{\sqrt{t}} = +\infty$casi seguro.

¡Gracias por su ayuda!