¿Se pueden intercambiar el supremo y la integral (teórica de la medida)?

Question

¿Se pueden intercambiar el supremo y la integral (teórica de la medida)?

integración
Matemáticas
análisis real
teoría de la medida
lebesgue-integral
supremo-e-infimo

Cálculo

Dejar $(\Omega,\mu)$ ser un espacio de medida y dejar $A$ sea cualquier conjunto de índices. Supongamos que tenemos una familia. $\{f_{\alpha}\}_{\alpha\in A}$ de mapas integrables $\Omega\to[0,\infty)$ tal que eso $\sup_{\alpha\in A}f_{\alpha}$ (el supremo puntual) es finito en todas partes y es integrable. ¿Es cierto que

\underset{α \in A}{sorber} \int_{Ω} F_{α} d m = \int_{Ω} \underset{α \in A}{sorber} F_{α} d m ?

$\sup_{\alpha\in A}\int_{\Omega}f_{\alpha} \ \text{d}\mu=\int_{\Omega}\sup_{\alpha\in A}f_{\alpha} \ \text{d}\mu?$ La desigualdad"

\leq

$\leq$ "es claro como

\int_{Ω} F_{α_{0}} d m \leq \int_{Ω} \underset{α \in A}{sorber} F_{α} d m

$\int_{\Omega}f_{\alpha_{0}} \ \text{d}\mu\leq\int_{\Omega}\sup_{\alpha\in A}f_{\alpha} \ \text{d}\mu$ para todos

α_{0} \in A

$\alpha_{0}\in A$ . ¿Qué tal la desigualdad?

\geq

$\geq$ "?

Respuestas (2)

¿Se pueden intercambiar el supremo y la integral (teórica de la medida)?

cucú · Answer 1

no, deja $\Omega$ ser cualquier subconjunto de $\Bbb{R}$ con medida de Lebesgue positiva finita, y sea $A=\Omega$ . Para cada $\alpha\in A$ , dejar $f_{\alpha}(x)=1$ si $x=\alpha$ y $0$ de lo contrario. Entonces,

\begin{aligned} \underset{α \in A}{sorber} \int_{Ω} F_{α} d λ & = 0 < λ (Ω) = \int_{Ω} 1 d λ = \int_{Ω} \underset{α \in A}{sorber} F_{α} d λ . \end{aligned}

$\begin{align} \sup_{\alpha\in A}\int_{\Omega}f_{\alpha}\,d\lambda &= 0<\lambda(\Omega)=\int_{\Omega} 1\,d\lambda =\int_{\Omega}\sup_{\alpha\in A}f_{\alpha}\,d\lambda. \end{align}$

salvelino ártico · Answer 2

No es cierto incluso cuando $A$ es finito Ejemplo: $f_1 = \chi_{[0,1]}$ y $f_2 = \chi_{[1,2]}$ . Entonces

sorber {\int F_{1}, \int F_{2}} = 1 < 2 = \int sorber {F_{1}, F_{2}} .

$\sup \left\{ \int f_1, \int f_2\right\} = 1 < 2 = \int \sup \{ f_1, f_2\}.$

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cucú

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