Probar una integral es igual a ∑∞k=11(p+k)2∑k=1∞1(p+k)2\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{(p+k) ^2} para p>0p>0p>0.

Question

Probar una integral es igual a ∑∞k=11(p+k)2∑k=1∞1(p+k)2\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{(p+k) ^2} para p>0p>0p>0.

integración
Matemáticas
análisis real
teoría de la medida
secuencias y series

zbrads2

Estoy estudiando para un examen de calificación y estoy atascado en este problema del "Análisis real para estudiantes graduados" de Bass (Ejercicio 7.14). Nos pide que demostremos que

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{(pag + k)^{2}} = - \int_{0}^{1} \frac{X^{pag}}{1 - X} registro (X) d X

$\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{(p+k)^2}=-\int_0^1\frac{x^p}{1-x}\log(x)dx$ para

p > 0

$p>0$ .

Tenga en cuenta que este ejercicio proviene del capítulo que presenta el teorema de la convergencia monótona, el lema de Fatou y el teorema de la convergencia dominada. Mi problema es probablemente que no veo de inmediato cómo aplicar ninguno de estos teoremas a este problema en particular. He intentado jugar con la serie de trucos y registros de Feynman, pero no he logrado ningún progreso notable. He estado atrapado aquí por un tiempo, así que cualquier ayuda es apreciada.

xbh

Tal vez podrías escribir la RHS en una integral de una suma infinita, luego intercambiar la

\int

$\int$ y

\sum

$\sum$ de acuerdo con los teoremas de convergencia.

zbrads2

@xbh Correcto, entonces una de las cosas con las que mencioné jugar fue escribir el término log (x) en forma de serie. Intenté hacer exactamente lo que mencionaste, pero no pude obtener un integrando conveniente.

xbh

Pruebe la función Gamma.

Respuestas (2)

Probar una integral es igual a ∑∞k=11(p+k)2∑k=1∞1(p+k)2\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{(p+k) ^2} para p>0p>0p>0.

Tal vez podrías escribir la RHS en una integral de una suma infinita, luego intercambiar la $\int$ y $\sum$ de acuerdo con los teoremas de convergencia.
@xbh Correcto, entonces una de las cosas con las que mencioné jugar fue escribir el término log (x) en forma de serie. Intenté hacer exactamente lo que mencionaste, pero no pude obtener un integrando conveniente.

zachary · Answer 1

Primero, expanda $1/(1-x)$ en su serie geométrica para obtener

- \int_{0}^{1} \sum_{k \geq 0} X^{metro} X^{pag} registro X d X

$-\int_0^1\sum_{k\ge 0} x^mx^p\log x\,dx$ Ahora, considere las sumas parciales

S_{norte} = \sum_{k = 0}^{norte} X^{k} = \frac{1 - X^{norte + 1}}{1 - X}

$S_N=\sum_{k=0}^Nx^k=\frac{1-x^{N+1}}{1-x}$ Fácilmente podemos demostrar que

S_{N} \leq S_{N + 1}

$S_N\le S_{N+1}$ , como

S_{N + 1} - S_{N} = x^{N + 1} \geq 0

$S_{N+1}-S_N=x^{N+1}\ge 0$ como

x \in [0, 1]

$x\in[0,1]$ . Por el teorema de la convergencia monótona,

\begin{aligned} - \int_{0}^{1} \sum_{k \geq 0} X^{k} X^{pag} registro X d X & = - \int_{0}^{1} \underset{norte \to \infty}{límite} \sum_{k = 0}^{norte} X^{k} X^{pag} registro X d X \\ (1) & = - \underset{norte \to \infty}{límite} \int_{0}^{1} \sum_{k = 0}^{norte} X^{k} X^{pag} registro X d X \\ = - \underset{norte \to \infty}{límite} \sum_{k = 0}^{norte} \int_{0}^{1} X^{k} X^{pag} registro X d X \\ = - \sum_{k \geq 0} \int_{0}^{1} X^{k} X^{pag} registro X d X \\ (2) & = \sum_{k \geq 0} \frac{1}{(k + pag + 1)^{2}} \\ = \sum_{k \geq 1} \frac{1}{(k + pag)^{2}} \end{aligned}

$\begin{align} -\int_0^1\sum_{k\ge 0} x^k x^p\log x\,dx&=-\int_0^1\lim_{N\to\infty}\sum_{k= 0}^N x^k x^p\log x\,dx \\ &=-\lim_{N\to\infty}\int_0^1\sum_{k= 0}^N x^k x^p\log x\,dx \tag{1} \\ &=-\lim_{N\to\infty}\sum_{k= 0}^N\int_0^1 x^k x^p\log x\,dx \\ &=-\sum_{k\ge 0}\int_0^1 x^k x^p\log x\,dx \\ &=\sum_{k\ge 0}\frac{1}{(k+p+1)^2} \tag{2}\\ &=\sum_{k\ge 1}\frac{1}{(k+p)^2} \\ \end{align}$ Donde se utilizó el teorema de la convergencia monótona en

(1)

$(1)$ e integración por partes en

(2)

$(2)$ .

Gracias por señalar dónde se usó el teorema de convergencia monótono. Así es exactamente como lo hice yo mismo.

Marty Cohen · Answer 2

Procediendo ingenuamente,

$\begin{array}\\ \int_0^1\frac{x^p}{1-x}\log(x)dx &=\int_0^1x^p\log(x)\sum_{n=0}^{\infty} x^ndx\\ &=\sum_{n=0}^{\infty} \int_0^1x^{p+n}\log(x)dx\\ &=\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{x^{n+p+1}((n+p+1)\ln(x)-1}{(n+p+1)^2}|_0^1 \qquad\text{(according to Wolfy)}\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac1{(n+p+1)^2} (x^{n+p+1}((n+p+1)\ln(x)-1)|_0^1\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{-1}{(n+p+1)^2}\\ &=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{-1}{(n+p)^2}\\ \end{array}$

Me parece bien.

Dejar $t = -\log x$ , entonces la integral es en realidad $-\Gamma (2)/(n+p+1)^2$ .
¡Por supuesto! La serie geométrica porque $x$ es en $(0,1)$ . Estaba tan decidido a escribir el registro como una serie que no vi esto. Gracias.

Probar una integral es igual a ∑∞k=11(p+k)2∑k=1∞1(p+k)2\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{(p+k) ^2} para p>0p>0p>0.

zbrads2

xbh

zbrads2

xbh

Respuestas (2)

zachary

zbrads2

Marty Cohen

xbh

zbrads2

Prueba alternativa del teorema de la convergencia dominada aplicando el lema de Fatou a 2g−|fn−f|2g−|fn−f|2g - |f_n - f|?

Generalizando el Lema de Scheffe usando solo Convergencia en Probabilidad

Folland: ¿Por qué está bien definida la medida del producto?

∫10xr−11+xsdx=∑∞n=0(−1)nr+ns∫01xr−11+xsdx=∑n=0∞(−1)nr+ns\int_0^1\large\frac{x^{ r-1}}{1+x^s}\,dx=\sum_{n=0}^\infty\large\frac{(-1)^n}{r+ns} para cualquier r,s>0r ,s>0r,s > 0 [cerrado]

¿Se pueden intercambiar el supremo y la integral (teórica de la medida)?

¿Cuál es la respuesta a ∫cos2xsinxsinx−cosxdx∫cos2⁡xsin⁡xsin⁡x−cos⁡xdx\int \frac{\cos^2x \sin x}{\sin x - \cos x} dx?

Demostrando la aproximación de forma cerrada de la relación de recurrencia Xk=kXk−1Xk=kXk−1X_k=\frac{k}{X_{k-1}}

Encuentra limn→∞∫10f(x)sin(nx)dxlimn→∞∫01f(x)sin⁡(nx)dx \lim_{n \to \infty} \int_{0}^{1} f(x) \ sin(nx)dx donde fff es continuamente diferenciable sobre [0,1][0,1][0,1]

Resolver una ecuación formal en serie de potencias

convergencia de la serie ∑un,un=nnxnn!∑un,un=nnxnn!\sum u_n, u_n = \frac{n^nx^n}{n!} para x>0x>0x>0