Folland: ¿Por qué está bien definida la medida del producto?

Mostremos cómo funciona un refinamiento común en un ejemplo concreto. Esto transmitirá la idea, y está bastante claro que esto funciona para cualquier región que desee.

Decir$E$es un conjunto que se puede escribir como una unión disjunta de un número finito de rectángulos. Por ejemplo, esta región (perdón por la pintura):

Ahora definimos el área (medida) de esta región como la suma de las áreas (medidas) de los rectángulos en una descomposición. Por ejemplo, podemos presenciar esta región como una unión disjunta

y definir el área de$E$sea ​​la suma de las áreas de estos tres rectángulos (por supuesto, sabemos cuál debe ser el área de un rectángulo).

¡Pero espera, dices! ¿Y si en cambio elegimos esta descomposición?

entonces el área de$E$debe ser la suma de las áreas de estos tres rectángulos! Pero eso podría darnos una respuesta diferente. ¿Cómo podemos garantizar que obtendremos el mismo resultado sin importar qué descomposición elijamos?

Aquí está el secreto: superponga las dos imágenes una encima de la otra:

Cuando hacemos esto, subdivide cada una de nuestras regiones anteriores en más rectángulos.

Cuando subdividimos nuestros rectángulos, llamamos a esto un refinamiento de nuestra cobertura. Pero inteligentemente hemos elegido estos nuevos rectángulos para que sean un refinamiento de nuestras dos cubiertas de interés. Es decir, es un refinamiento común .

Y ahora vemos que el área de$E$medida por la primera cubierta es igual al área medida por la segunda cubierta. ¿Por qué? Porque ambos son iguales al área medida por la cubierta morada. Después de todo,

$$\begin{aligned} \text{area}(\text{red}_1 + \text{red}_2 + \text{red}_3) &= \text{area}( \text{purple}_1 + (\text{purple}_2 + \text{purple}_3 + \text{purple}_4) + (\text{purple}_5 + \text{purple}_6 ) \\ &= \text{area}( \text{purple}_2 + (\text{purple}_3 + \text{purple}_5) + (\text{purple}_1 + \text{purple}_4 + \text{purple}_6) ) \\ &= \text{area}( \text{blue}_1 + \text{blue}_2 + \text{blue}_3) \end{aligned}$$

Donde no he etiquetado explícitamente las regiones roja/azul (principalmente porque soy perezoso), pero espero que quede claro por el contexto.

Entonces vemos que, siempre que podamos encontrar un refinamiento común, podemos ejecutar este mismo argumento. El área calculada por un revestimiento es la misma que el área calculada por cualquiera de sus refinamientos (esto es básicamente aditividad de una medida en conjuntos disjuntos), por lo que si dos revestimientos tienen un refinamiento común, deben dar la misma área.

Ahora, dado que siempre existe un refinamiento común (es molesto demostrarlo formalmente, pero debería ser intuitivamente obvio), esto significa que dos recubrimientos cualquiera de la misma región dan la misma área, ¡que es exactamente lo que queríamos mostrar!

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Espero que esto ayude ^_^

Tenga en cuenta que podemos escribir$E=\bigcup_{i,j}(A_i\times B_i)\cap(C_j\times D_j)=\bigcup_{i,j}(A_i\cap C_j)\times(B_i\cap D_j)$.

Entonces:$A_i\times B_i=\bigcup_{j}(A_i\cap C_j)\times(B_i\cap D_j)$,$C_j\times D_j=\bigcup_{i}(A_i\cap C_j)\times(B_i\cap D_j)$.

Entonces tenemos:$\mu(E)=\mu(\bigcup_i A_i\times B_i)=\mu(\bigcup_{i,j}(A_i\cap C_j)\times(B_i\cap D_j))=\sum_{i,j}\mu_1(A_i\cap C_j)\mu_2(B_i\cap D_j)$

Ahora:

$\sum_{i}\mu_1(A_i)\mu_2(B_i)=\sum_{i,j}\mu_1(A_i\cap C_j)\mu_2(B_i\cap D_j)=\sum_j\mu_1(C_j)\mu_2(D_j)$, donde el último paso es verdadero porque puedo cambiar el orden de la suma (todo es no negativo).