Encuentra limn→∞∫10f(x)sin(nx)dxlimn→∞∫01f(x)sin⁡(nx)dx \lim_{n \to \infty} \int_{0}^{1} f(x) \ sin(nx)dx donde fff es continuamente diferenciable sobre [0,1][0,1][0,1]

Comience usando la integración por partes, luego use el hecho de que, dado que$f'$es continuo, hay una constante$M$tal que$M \geq |f'(x)| \forall x\in[0,1]$.

Usé la integración por partes y obtuve:

$$I=\lim_{n \to \infty} \int_{0}^{1} f(x) \sin(nx)dx=\lim_{n \to \infty} \left[-\dfrac{1}{n} \int_{0}^{1} f'(x) \cos(nx)dx \right]$$

Atascado ahora. Ni idea de cómo usar eso$M$información con el teorema del apretón. Mi instinto sería asumir$M>f'(x)$tal que:

$$\int_{0}^{1} (-M) \cos(nx)dx \leq \int_{0}^{1} f'(x) \cos(nx)dx \leq \int_{0}^{1} (M) \cos(nx)dx$$

No estoy seguro si limité lo anterior correctamente, pero luego lo haría:

$$\left[ -\dfrac{M\sin(nx)}{n} \right]_{x=0}^{x=1} \leq \int_{0}^{1} f'(x) \cos(nx)dx \leq \left[ \dfrac{M\sin(nx)}{n} \right]_{x=0}^{x=1}$$ $$-\dfrac{M\sin(n)}{n} \leq \int_{0}^{1} f'(x) \cos(nx)dx \leq \dfrac{M\sin(n)}{n}$$

Luego divido todo por$n$, y tome el límite como$n \to \infty$tal que la parte media de la desigualdad se convierte en$I$.

$$-\lim_{n\to\infty}\dfrac{M\sin(n)}{n^2} \leq I \leq \lim_{n\to\infty}\dfrac{M\sin(n)}{n^2}$$

Evaluando los límites que obtengo

$$0 \leq I \leq 0$$

De este modo,$I=0$. No estoy seguro si este es el enfoque correcto.

Esta pregunta ha sido respondida, pero usando diferentes métodos fuera del alcance de esta clase. ¿Alguien puede resolverlo usando la sugerencia anterior?