Verificación del Álgebra de Poincaré

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Verificación del Álgebra de Poincaré

Física
mentira-álgebra
poincaré-simetría
relatividad especial
representaciones de grupo

hombre de la lluvia

Los generadores del grupo Poincaré $P(1;3)$ se supone que obedecen a la siguiente relación de conmutación a verificar:

[{METRO}^{m v}, {PAG}^{ρ}] = i ({gramo}^{v ρ} {PAG}^{m} - {gramo}^{m ρ} {PAG}^{v})

$\left[ M^{\mu\nu}, P^{\rho} \right] = i \left(g^{\nu\rho} P^{\mu} - g^{\mu\rho} P^{\nu} \right)$

dónde $M^{\mu\nu}$ son los 6 generadores del grupo de Lorentz y $P^\mu$ son los 4 generadores del grupo de traducción de cuatro dimensiones $T(4)$ .

Para $\mu = 3, \nu=1, \rho=0$ el LHS se convierte en: $[M^{31},P^{0}] = M^{31}P^{0} - P^{0}M^{31}$ .

Aquí $M^{31} = J^2 = -J_2= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & i & 0 & 0 \end{pmatrix}$ y $P^0 = P_0 = -i \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ .

mi pregunta es como puedo multiplicar $M^{31}$ y $P^0$ cuando ellos están $4\times4$ y $5\times 5$ matrices respectivamente?

Dox

De hecho, debe completar el

M_{a b}

$M_{ab}$ generadores con ceros para completar la 5ta fila y columna.

qmecanico

Pregunta relacionada por OP: physics.stackexchange.com/q/127559/2451

hombre de la lluvia

@Dox: He considerado:

(x^{0}, x^{1}, x^{2}, x^{3}) \to (x^{0} + b^{0}, x^{1} + b^{1}, x^{2} + b^{2}, x^{3} + b^{3})

$(x^0, x^1, x^2, x^3) \rightarrow (x^0 + b^0, x^1+b^1, x^2+b^2, x^3+b^3)$ . Luego emita esta transformación como una multiplicación de matrices y luego use la fórmula para encontrar los generadores

P_{μ} = g_{μ ν} P^{ν}

$P_\mu=g_{\mu\nu}P^\nu$ . ¿Qué más podría hacer para definir el

P_{μ}

$P_\mu$ ¿adecuadamente?

hombre de la lluvia

@Qmechanic: sí, hice esa pregunta. ¡Estaba en una profunda confusión!

Respuestas (1)

Verificación del Álgebra de Poincaré

De hecho, debe completar el $M_{ab}$ generadores con ceros para completar la 5ta fila y columna.
Pregunta relacionada por OP: physics.stackexchange.com/q/127559/2451
@Dox: He considerado: $(x^0, x^1, x^2, x^3) \rightarrow (x^0 + b^0, x^1+b^1, x^2+b^2, x^3+b^3)$ . Luego emita esta transformación como una multiplicación de matrices y luego use la fórmula para encontrar los generadores $P_\mu=g_{\mu\nu}P^\nu$ . ¿Qué más podría hacer para definir el $P_\mu$ ¿adecuadamente?
@Qmechanic: sí, hice esa pregunta. ¡Estaba en una profunda confusión!

Dox · Answer 1

Considerar

{METRO}_{31} = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - i & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & i & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}) y {PAG}_{0} = - i (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}),

$M_{31} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -i & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & i & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \text{ and } P_0 = -i \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},$

¡Entonces el conmutador desaparece! Como se esperaba de $\left[ M_{31}, P_{0} \right] = i \left(g_{10} P_{3} - g_{30} P_{1} \right) = 0$ .

Si lo tomas

{METRO}_{01} = (\begin{matrix} 0 & i & 0 & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}) y {PAG}_{0} = - i (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}),

$M_{01} = \begin{pmatrix} 0 & i & 0 & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \text{ and } P_0 = -i \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},$ entonces

[{METRO}_{01}, {PAG}_{0}] = - i (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}) = {PAG}_{1} .

$\left[M_{01},P_0\right] = -i \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = P_1.$

¡Etcétera!

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Dox

qmecanico

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hombre de la lluvia

Respuestas (1)

Dox

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