¿Cómo se codifica la velocidad invariable de la luz en SL(2,C)SL(2,C)SL(2, \mathbb C)?

En la representación espinorial de una transformación de Lorentz, representamos un evento en el espacio-tiempo como un elemento del espacio vectorial 4D de Hermitian$2\times2$matrices:

$$X = t\,\mathrm{id} + x\,\sigma_x+y\,\sigma_y+z\,\sigma_z\tag{1}$$

donde el$\sigma_j$son, como siempre, las matrices de Pauli y$(t,\,x,\,y,\,z)$las cuatro coordenadas del espacio-tiempo.

Un miembro$\zeta\in SL(2,\,\mathbb{C})$de la doble cubierta de$SO(1,\,3)$actúa sobre tal evento por el llamado mapa spinor:

$$X\mapsto \zeta^\dagger\,X\,\zeta\tag{2}$$

por lo que ahora buscamos codificar la invariancia del intervalo de línea en (2); en términos del evento del espacio-tiempo$X$.

Ejercicio : Comprobar que la longitud minkowskiana de$X$está, de hecho, codificado como$\det X$.

Así, de (2), la invariancia de la longitud del intervalo de espacio-tiempo bajo la acción de$\zeta$es

$$\det(\zeta^\dagger\,X\,\zeta) = |\det\zeta|^2 \det X = \det X\tag{3}$$

y el cumplimiento de (3) para todos los hermitianos$X$es una condición necesaria y suficiente para$\zeta$para dejar invariante el intervalo de espacio-tiempo. En particular, la unimodularidad de$\zeta$es suficiente (pero no necesario) para esta conservación.

Esto responde a su pregunta, pero tenga en cuenta que todo el conjunto de matrices que conservan el intervalo es precisamente$U(1)\times SL(2\,\mathbb{C})$, es decir, el conjunto de matrices de la forma$e^{i\,\phi}\,\zeta;\,\phi\in\mathbb{R}$, dónde$\zeta$es unimodular. Pero tenga en cuenta que el factor de fase no hace ninguna diferencia en el mapa de spinor (2); por lo tanto, el grupo de matrices conservantes de intervalos de espacio-tiempo$U(1)\times SL(2\,\mathbb{C})$se divide en clases de equivalencia de mapas de espinores, con precisamente un miembro de$PSL(2,\,\mathbb{C})\cong SO^+(1,\,3)$para cada mapa de spinor. la doble cubierta$SL(2,\,\mathbb{C})$comprende dos miembros para cada mapa espinor distinto, es decir, pares de la forma$\pm\zeta$.