Compacidad del grupo de mentiras de los generadores

Question

Compacidad del grupo de mentiras de los generadores

Física
topología
mentira-álgebra
teoría de grupos
poincaré-simetría
relatividad especial

a. smith

Consideremos el álgebra de Poincaré , caracterizada por los siguientes conmutadores:

\begin{aligned} [H, {PAG}_{i}] & = 0 \\ [H, k_{i}] & = {PAG}_{i} \\ [{PAG}_{i}, {PAG}_{j}] & = 0 \\ [k_{i}, k_{j}] & = - ϵ_{i j k} j_{k} \\ [{PAG}_{i}, k_{j}] & = d_{i j} H \\ [j_{i}, j_{j}] & = ϵ_{i j k} j_{k} \\ [j_{i}, k_{j}] & = ϵ_{i j k} k_{k} \\ [j_{i}, {PAG}_{j}] & = ϵ_{i j k} {PAG}_{k} \\ [j_{i}, H] & = 0 \end{aligned}

$\begin{align} [H,P_i]&=0\\ [H,K_i]&=P_i\\ [P_i,P_j]&=0\\ [K_i,K_j]&=-\epsilon_{ijk}J_k\\ [P_i,K_j]&=\delta_{ij}H\\ [J_i,J_j]&=\epsilon_{ijk}J_k\\ [J_i,K_j]&=\epsilon_{ijk}K_k\\ [J_i,P_j]&=\epsilon_{ijk}P_k\\ [J_i,H]&=0 \end{align}$ ¿Cómo podría saber, usando solo el álgebra, si el subgrupo, generado por el

K_{i}

$K_i$ generadores, es compacto o no? ¿Existe un criterio para establecer la compacidad?

Mi comprensión de un grupo compacto está relacionada con la noción de conjuntos acotados y conectados. Por ejemplo, el grupo de Lorentz tiene cuatro piezas desconectadas, por lo que es un grupo no compacto.

Cosmas Zachos

¿ Ha calculado la forma de matar ?

DanielC

No hay un subgrupo generado por las K, porque su álgebra no se "cierra".

a. smith

Sí, es verdad. ¿Pero el subgrupo mínimo, que contiene este K como uno de sus generadores?

Cosmas Zachos

Recomendaría lo siguiente: contrastar la forma Killing de SO(3), una esfera, con la de SO(2,1), un hiperboloide. Luego, elimine H y P para apegarse al álgebra de Lorentz anterior (después de corregir su error en [K,K]). Asócielo a SO(3,1) y observe la hipersuperficie 5d vinculada a la forma Killing.

Respuestas (2)

Compacidad del grupo de mentiras de los generadores

No hay un subgrupo generado por las K, porque su álgebra no se "cierra".
Sí, es verdad. ¿Pero el subgrupo mínimo, que contiene este K como uno de sus generadores?
Recomendaría lo siguiente: contrastar la forma Killing de SO(3), una esfera, con la de SO(2,1), un hiperboloide. Luego, elimine H y P para apegarse al álgebra de Lorentz anterior (después de corregir su error en [K,K]). Asócielo a SO(3,1) y observe la hipersuperficie 5d vinculada a la forma Killing.

una mente curiosa · Answer 1

Como sugiere Cosmas Zachos en los comentarios, un álgebra de mentira no abeliana pertenece a un grupo de mentira compacto si su forma de matar $K(X;Y) = \mathrm{tr}(\mathrm{ad}_X\circ \mathrm{ad}_Y)$ es definido negativo, cf. también álgebra de Lie compacta donde puede encontrar una lista completa de todas las álgebras de Lie compactas. La razón de esto es que una forma de Asesinato no degenerada induce una conexión Levi-Civita. $\nabla_X Y = \frac{1}{2}[X,Y]$ sobre el grupo de Lie con curvatura de Ricci $-\frac{1}{4}K(X,Y)$ , que está acotado por debajo si la forma Killing es definida negativa y, por lo tanto, el grupo de Lie es compacto por Bonnet-Myers . Nótese que una forma Killing semidefinida negativa, es decir, una que está degenerada, puede pertenecer o no a un grupo de Lie compacto.

La (des)conexión no tiene nada que ver con la suya: el grupo de Lorentz no es compacto y tiene cuatro componentes conectados, pero ya el componente de identidad, el grupo de Lorentz ortocrónico adecuado, no es compacto. La compacidad y la conectividad son propiedades topológicas diferentes y no relacionadas.

qmecanico · Answer 2

Ya hay una buena respuesta de ACuriousMind. Aquí queremos destacar algunos hechos importantes.

Que se dé un $n$ álgebra de mentira real -dimensional
$\begin{matrix} (M1) & gramo = {s pag a norte}_{R} {t_{a} ∣ a = 1, \dots, norte}, \end{matrix}$ $\mathfrak{g}~=~{\rm span}_{\mathbb{R}}\{t_a\mid a=1,\ldots, n\}, \tag{M1}$ dónde $^1$ $\begin{matrix} (M2) & [t_{a}, t_{b}] = \underset{\in R}{\underset{⏟}{F_{a b}^{C}}} t_{C} . \end{matrix}$ $[t_a,t_b] ~=~\underbrace{f_{ab}{}^{c}}_{\in\mathbb{R}}~ t_c.\tag{M2}$
Supongamos que el $t_a$ son los generadores de una fiel representación lineal de dimensión finita del álgebra de Lie, cf. El teorema de Ado .
El tercer teorema de Lie (más precisamente el teorema de Lie-Cartan ) garantiza la existencia de un grupo de Lie correspondiente conectado y simplemente conectado $G$ , tal que su álgebra de Lie es $\mathfrak{g}$ . En una vecindad de la identidad, el grupo de Lie es reconstruido por el mapa exponencial
$\begin{matrix} (M3) & Exp (gramo) \subseteq GRAMO . \end{matrix}$ $\exp(\mathfrak{g})~\subseteq~ G \tag{M3}.$
Si el álgebra de la mentira real $\mathfrak{g}$ es semisimple , tiene una descomposición de Cartan
$\begin{matrix} (M4) & gramo = k + pag . \end{matrix}$ $\mathfrak{g}~=~\mathfrak{k}+\mathfrak{p}.\tag{M4}$ Entonces $K/Z_G$ es compacto y $\exp(\mathfrak{p})$ no compacto, cf. Wikipedia .
La teoría pura del grupo/álgebra de Lie no introduce la noción de conjugación hermitiana . Sin embargo, esta estructura adicional a menudo está presente en la física. Si $t_a=-t^{\dagger}_a$ es antihermítica, corresponde a una dirección compacta; mientras que si $t_a=t^{\dagger}_a$ es hermítica, corresponde a una dirección no compacta.

--

$^1$ Tenga en cuenta que en gran parte de la literatura de física, hay un factor extra de la unidad imaginaria $i$ en varios lugares, por ejemplo

\begin{matrix} (P2) & [t_{a}, t_{b}] = i \underset{\in R}{\underset{⏟}{F_{a b}^{C}}} t_{C}, \end{matrix}

$[t_a,t_b] ~=~i~\underbrace{f_{ab}{}^{c}}_{\in\mathbb{R}}~ t_c,\tag{P2}$ y

\begin{matrix} (P3) & Exp (i gramo) \subseteq GRAMO . \end{matrix}

$\exp(i\mathfrak{g})~\subseteq~ G \tag{P3}.$ En particular, si

t_{a} = t_{a}^{†}

$t_a=t^{\dagger}_a$ es hermítico, corresponde a una dirección compacta; mientras que si

t_{a} = - t_{a}^{†}

$t_a=-t^{\dagger}_a$ es antihermítica, corresponde a una dirección no compacta.

Compacidad del grupo de mentiras de los generadores

a. smith

Cosmas Zachos

DanielC

a. smith

Cosmas Zachos

Respuestas (2)

una mente curiosa

qmecanico

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