¿La transformación de paridad es ortocrónica propia?

La paridad y la inversión de tiempo son, por definición, elementos del grupo lorentz completo con los que debe complementar el subgrupo ortocrónico adecuado para poder abarcar todo el grupo.

Como se señaló, la forma adecuada de definir la paridad en cualquier dimensión es invertir uno de los ejes espaciales. Incluso en dimensiones de espacio-tiempo sucede que invertir todas las coordenadas espaciales y invertir una están relacionadas a través de alguna secuencia de rotaciones, como debería ser el caso de dos transformaciones impropias cualesquiera, ya que ambas tienen det$=-1$y debe estar conectado.

Para dimensiones impares de espacio-tiempo, invertir todas las dimensiones espaciales es en realidad solo una rotación (o una secuencia de la misma). Por ejemplo, tome$SO(1,2)$, luego volteando todas las coordenadas espaciales

$$\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right)$$ es equivalente a una rotación alrededor del único eje por un ángulo de $\phi =\pi$radianes, ya que una rotación es $$\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \text{cos }\phi & -\text{sin }\phi \\ 0 & \text{sin }\phi & \text{cos }\phi \end{array}\right)$$ Sin embargo, ya sea $$\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \pm 1 & 0 \\ 0 & 0 & \mp 1\end{array}\right)$$ no se puede lograr mediante una rotación y tiene el determinante correcto.