Prueba de que la secuencia entrelazada de dos secuencias convergentes con límites diferentes no puede ser convergente

Perdón por el bocado de un título, no sabía de qué otra manera describir lo que estoy tratando de probar. Actualmente estoy en las primeras etapas de aprender Análisis real con el libro Comprensión del análisis de S. Abbott .

Esta pregunta pide una prueba de la siguiente conjetura:

Dejar$x_n$sea ​​una sucesión convergente con límite$x$. Dejar$y_n$sea ​​una sucesión convergente con límite$y$. Definir una secuencia$z_n$que entrelaza elementos de$x_n$y$y_n$. En otras palabras,$z_n = {x_1, y_1, x_2, y_2, x_3, y_3, x_4, y_4...}$Pruebalo$z_n$solo es convergente cuando$x = y$.

Después de pensar y escribir un poco, queda claro que esta afirmación es intuitivamente obvia. Como alguien nuevo en las pruebas y las "Matemáticas puras" en general, todavía tengo problemas para decidir qué puedo asumir que es "lo suficientemente obvio como para no probar" y qué no puedo asumir. He visto ciertas pruebas en el libro donde veo que el autor hace ciertas suposiciones intuitivas, pero a veces no están permitidas. Puede ser un poco confuso a veces.

Mi prueba hasta ahora me hace cuestionar esto una vez más. Mi prueba es la siguiente:

Prueba:

Dejar$\epsilon_x$definir un tamaño arbitrariamente pequeño$\epsilon_x$-barrio alrededor$x$. Del mismo modo, deja$\epsilon_y$definir un tamaño arbitrariamente pequeño$\epsilon_y$-barrio alrededor$y$, dónde$\epsilon_x, \epsilon_y \in \mathbb{R}$.

Si$x \ne y$, es posible elegir$\epsilon_x$y$\epsilon_y$tal que el$\epsilon_x$-barrio alrededor$x$y el$\epsilon_y$-barrio alrededor$y$no se superpongan.

Por la definición de estos barrios, es que existen algunos$N_x$tal que para cualquier$n \ge N_x$,$x_n \in (-\epsilon_x, \epsilon_x).$Del mismo modo, existen algunos$N_y$tal que para cualquier$n \ge N_y$,$y_n \in (-\epsilon_y, \epsilon_y)$. En inglés, existen algunos "puntos sin retorno"$N_x$y$N_y$en ambos$x_n$y$y_n$tal que cualquier punto posterior debe estar dentro del e-vecindario arbitrario del límite$x$y$y$.

De esto se puede inferir que hay un punto$N = max(N_x, N_y)$tal que si$n \ge N$, cada punto$z_n$está en la no superposición$\epsilon_x$-barrio o el$\epsilon_y$-vecindario. En otras palabras, hay un punto$N$tal que todos los términos de la sucesión$z_n$debe estar en los vecindarios x o y, y no entre ellos o fuera de ellos.

Para$z_n$converger en algún punto$z$, tiene que haber, para un número arbitrariamente pequeño$\epsilon_z$-barrio alrededor$z$, algún punto$N_z$tal que si$n \ge N_z, x_n \in (-\epsilon_z, \epsilon_z)$.

Si$z$está entre$x$y$y$, podemos definir un$\epsilon_z$-barrio alrededor$z$que es lo suficientemente pequeño como para caber entre los otros dos vecindarios x e y. En este escenario, si$z_n$de hecho converge a$z$, debe existir algún punto$N_z$tal que si$n \ge N_z, x_n \in (-\epsilon_z, \epsilon_z)$. Pero, como dijimos anteriormente, ya existe un punto$N$tal que todos los puntos en$z_n, n \ge N$están en el$\epsilon_x$-barrio o el$\epsilon_y$-vecindario, y no en cualquier lugar entre. Por lo tanto, no podemos encontrar algunos$N_z$tal que todos los puntos después$N_z$estan en el$\epsilon_z$-barrio, es decir, entre los dos barrios.

Si$z$no está entre x e y, se puede hacer casi el mismo argumento (todos los puntos después de algún punto deben estar en las vecindades x o y).

Así que si$x \ne y$,$z$no puede converger.

Por otro lado, si$x=y$, no existe brecha entre dos posibles vecindarios que$z$y su vecindario se puede aplastar. Por lo tanto, en ese caso, es posible encontrar un vecindario alrededor$z$, dónde$z=x=y$, que todos los puntos después de algún punto$N$se encuentran dentro.

En primer lugar, soy consciente de cuán increíblemente fea e incluso no matemática es esta prueba. Actualmente estoy en la escuela secundaria, por lo que mi exposición a las técnicas de prueba ha sido limitada. Por lo general, estoy bien si me dan alguna dirección, pero no creo que haya tenido suficiente experiencia en matemáticas más avanzadas para tener la creatividad matemática para pensar en demostraciones sin indicaciones.

Ni siquiera estoy completamente seguro de que esta prueba sea válida, pero después de unas horas de trabajar en este problema, es el que tiene menos agujeros que yo pueda ver.

¿Alguien puede verificar la validez de esta prueba y ofrecer una mejor? Estaría aún más agradecido si me informaran sobre algunos de los problemas con mi formato de prueba, etc.

¡Gracias!