Afirmaciones sobre convergencia/divergencia de series infinitas

$\newcommand{\absval}[1]{\left\lvert #1 \right\rvert}$Estoy autoaprendiendo Real Analysis de Understanding AnalysisStephen Abbot. Me gustaría que alguien verifique si mis pruebas/contraejemplos sobre las siguientes afirmaciones están bien.

Considere cada una de las siguientes proposiciones. Proporcione pruebas breves para las que sean verdaderas y contraejemplos para las que no lo sean.

(a) Si$\sum a_n$converge absolutamente, entonces$\sum a_n^2$también converge absolutamente.

(b) Si$\sum a_n$converge y$(b_n)$converge, entonces$\sum a_n b_n$converge

(c) Si$\sum a_n$converge condicionalmente, entonces$\sum n^2 a_n$diverge

(d) Si$\sum a_n$con$a_n > 0$es convergente, entonces es$\sum \sqrt{a_n}$siempre convergente? Demuéstralo o da un contraejemplo.

(f) Si$\sum a_n$con$a_n > 0$es convergente, entonces es$\sum \sqrt{a_n a_{n+1}}$siempre convergente. Demuéstralo o da un contraejemplo.

Prueba.

(a) Sabemos que, para números reales$a,b \in \mathbf{R}$

$$\begin{align*} \absval{a}^2 + \absval{b}^2 \le (\absval{a} + \absval{b})^2 \end{align*}$$

Entonces, podemos escribir,

$$\begin{align*} \absval{a_{m+1}}^2 + \ldots + \absval{a_{n}}^2 \le (\absval{a_{m+1}} + \ldots + \absval{a_{n}})^2 \end{align*}$$

Como$\sum a_n$es absolutamente convergente, por el criterio de Cauchy, dada cualquier$\epsilon > 0$, existe$N \in \mathbf{N}$, tal que

$$\begin{align*} \absval{\absval{a_{m+1}} + \ldots + \absval{a_{n}}} < \sqrt{\epsilon} \end{align*}$$

para todos$n > m \ge N$. Por lo tanto,

$$\begin{align*} \absval{a_{m+1}}^2 + \ldots + \absval{a_{n}}^2 &\le (\absval{a_{m+1}} + \ldots + \absval{a_{n}})^2\\ &<(\sqrt{\epsilon})^2 = \epsilon \end{align*}$$

De este modo,$\sum a_n^2$es absolutamente convergente.

(b) Esta proposición es falsa. Como contraejemplo, considere$a_n := \frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{n}}$y$b_n := \frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{n}}$.$\sum a_n$y$(b_n)$son convergentes, pero$\sum a_n b_n$es la serie armónica, que es bien conocida por divergir.

(c) No pude encontrar ningún contraejemplo. Por ejemplo, si definimos$a_n := \frac{(-1)^n}{n}$entonces la serie$\sum n^2 a_n$diverge

(d) No. Como contraejemplo, considere$a_n = \frac{1}{n^2}$.$\sum a_n$es convergente, pero$\sum \sqrt{a_n}$es divergente

(e) La media geométrica de dos números siempre es menor o igual que la media aritmética.

$$\begin{align*} \sqrt{a_n a_{n+1}} \le \frac{a_n + a_{n+1}}{2} \end{align*}$$

Ambos$(a_n)$y$(a_{n+1})$son convergentes, y por lo tanto$\sum (a_n + a_{n+1})/2$también es convergente por el teorema del límite algebraico.

Por la prueba de comparación, debemos tener$\sum \sqrt{a_n a_{n+1}}$convergente.