¿Funciones armónicas que convergen uniformemente?

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¿Funciones armónicas que convergen uniformemente?

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Jerez

Dejar $u_k$ ser continuo en $\overline\Omega$ , $u_k$ armónico en $\Omega$ . Suponer $u_k|\partial\Omega$ converger uniformemente. Entonces $u_k$ convergen uniformemente en $\Omega$ .

La sugerencia es usar el Principio Máximo.

Mi intento :

Por la fórmula integral de Poisson:

$u_k(x)=\int_{\partial\Omega}\frac{\partial G}{\partial n}(x,y)u_k(y)ds(y)$ . Entonces deja $k$ va al infinito. El RHS es armónico por lo que $u(x)$ es armónico en $\Omega$ .

Mi pregunta : no utilicé el principio máximo.

He estado pensando en ello durante varias horas y no me di cuenta de nada sobre el principio máximo?

¿Alguien puede ayudarme con algunas respuestas o pistas? ¡Eso será realmente útil!

¡Muchas gracias!:)

usuario147263

¿Qué se supone sobre el límite de

Ω

$\Omega$ ? Para sacar la derivada normal de

G

$G$ , al menos necesitas el vector normal. Con el principio Máximo no tienes que preocuparte por eso. Solo aplícalo a

u_{k} - u_{l}

$u_k-u_l$ para mostrar que la sucesión es uniformemente de Cauchy.

Jerez

@CareBear El problema original está en Ball. Entonces el vector normal es simplemente

y / R

$y/R$ . Pero luego hay una conclusión, dice que también es cierto en

Ω

$\Omega$ utilizando el principio máximo. Entonces estoy confundido. Pensé

\frac{\partial G}{\partial n}

$\frac{\partial G}{\partial n}$ es siempre armónico? ¿Es eso incorrecto? :)

usuario147263

Para que algo sea armónico, primero debe definirse. Para definir la derivada normal, necesitamos tener un vector normal. No todos los dominios tienen vectores normales en el límite, solo los tienen los dominios con un límite uniforme.

Respuestas (1)

¿Funciones armónicas que convergen uniformemente?

¿Qué se supone sobre el límite de $\Omega$ ? Para sacar la derivada normal de $G$ , al menos necesitas el vector normal. Con el principio Máximo no tienes que preocuparte por eso. Solo aplícalo a $u_k-u_l$ para mostrar que la sucesión es uniformemente de Cauchy.
@CareBear El problema original está en Ball. Entonces el vector normal es simplemente $y/R$ . Pero luego hay una conclusión, dice que también es cierto en $\Omega$ utilizando el principio máximo. Entonces estoy confundido. Pensé $\frac{\partial G}{\partial n}$ es siempre armónico? ¿Es eso incorrecto? :)
Para que algo sea armónico, primero debe definirse. Para definir la derivada normal, necesitamos tener un vector normal. No todos los dominios tienen vectores normales en el límite, solo los tienen los dominios con un límite uniforme.

Umberto P. · Answer 1

Desde $u_k|_{\partial \Omega}$ es uniformemente convergente es uniformemente de Cauchy: si

{METRO}_{j, k} = \underset{X \in \partial Ω}{máximo} | {tu}_{j} (X) - {tu}_{k} (X) |

$M_{j,k} = \max_{x \in \partial \Omega} |u_j(x) - u_k(x)|$ entonces

M_{j, k} \to 0

$M_{j,k} \to 0$ como

j, k \to \infty

$j,k \to \infty$ .

Dados dos índices $j,k$ la diferencia $u_j - u_k$ es armónico. Para cualquier $x_0 \in \Omega$ tienes por el principio máximo

{tu}_{j} (X_{0}) - {tu}_{k} (X_{0}) \leq \underset{X \in \bar{Ω}}{máximo} ({tu}_{j} (X) - {tu}_{k} (X)) = \underset{X \in \partial Ω}{máximo} ({tu}_{j} (X) - {tu}_{k} (X)) \leq {METRO}_{j, k} .

$u_j(x_0) - u_k(x_0) \le \max_{x \in \overline \Omega} (u_j(x) - u_k(x)) = \max_{x \in \partial \Omega} (u_j(x) - u_k(x)) \le M_{j,k}.$ Intercambiar los roles de

j

$j$ y

k

$k$ para obtener también

{tu}_{k} (X_{0}) - {tu}_{j} (X_{0}) \leq {METRO}_{j, k} .

$u_k(x_0) - u_j(x_0) \le M_{j,k}.$ De este modo

| u_{j} (x_{0}) - u_{k} (x_{0}) | \leq M_{j, k}

$|u_j(x_0) - u_k(x_0)| \le M_{j,k}$ para todos

x_{0} \in Ω

$x_0 \in \Omega$ . Esto significa que

{u_{k}}

$\{u_k\}$ es uniformemente Cauchy en

Ω

$\Omega$ , por lo tanto uniformemente convergente.

¿Funciones armónicas que convergen uniformemente?

Jerez

usuario147263

Jerez

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Umberto P.

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