Supongamos que tengo una L funcional. Por ejemplo . Donde y es en sí mismo una función de la variable real x
Es fácil para mí evaluar la Derivada Funcional de L a través de las Ecuaciones de Euler Lagrange:
Pero, ¿cómo se hace lo contrario? Dado un funcional L, encuentre el funcional G que cuando se aplica por el anterior da L.
El término d/dx complica mucho las cosas ya que las dos derivadas parciales son independientes entre sí, pero esta diferenciación fuerza una relación entre las dos.
Su problema es el problema inverso clásico formulado por Helmholtz en 1887. Este problema, que yo sepa, está completamente resuelto por Mayer y Hirsch en 1897. Si desea un estudio completo y moderno de este problema, puede leer el libro de Olver "Aplicaciones de grupos de Lie a ecuaciones diferenciales". En este libro se estudia el caso multidimensional (PDE) con orden general.
En mi tesis (citada anteriormente por Sylvain L.), di una formulación explícita de la condición de Helmholtz en el caso unidimensional (EDO) con segundo orden. En este caso particular (y más simple), la condición de Helmholtz se puede escribir de una manera muy simple. Lo encontrarás en la Ecuación (IV.2.12) p.67. Esta condición es suficiente y necesaria para asegurar que un operador diferencial de segundo orden es un operador de Euler-Lagrange (de segundo orden).
Ahora, si considera un operador diferencial de segundo orden que satisfaga la condición de Helmholtz, y si quieres encontrar un Lagrangiano tal que (dónde es el operador de Euler-Lagrange), entonces puedes seguir el paso de la demostración del Teorema IV-2 p.67. Esta prueba da una forma explícita de construir tal Lagrangiano .
Observación: Tenga en cuenta que no es único ya que existen algunos "Lagrangianos nulos", ver Sección IV-2-3 p.69.
Lo que está buscando se llama el problema inverso de Helmotz, creo: dado un operador diferencial de segundo orden, ¿en qué condición hay un lagrangiano correspondiente?
Puede obtener más información sobre esto en la web (por ejemplo, https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_problem_for_Lagrangian_mechanics ), pero nunca descubrí tantas referencias al respecto.
Por lo que sé, existe una condición sine qua none en el operador por ser un derivado de Euler-Lagrange de algún Lagrangiano, llamada condición de Helmoltz.
Pero creo que en la práctica, no siempre es fácil de usar. Sin embargo, si estamos considerando un problema con un solo grado de libertad, como parece ser el caso en su pregunta, hay una condición más explícita que es equivalente, a veces llamada condición explícita de Helmoltz. Creo que en este caso hay incluso una construcción explícita del lagrangiano.
Voy a ver si puedo averiguar dónde he leído eso.
Actualización: lo encontré, es http://www.unilim.fr/pages_perso/loic.bourdin/Documents/bourdin-thesis2013.pdf . Está mitad en francés, mitad en inglés, pero la parte que buscas está en inglés. Es el apartado IV.2. página 65.
Gregorio
Sidharth Ghoshal
qmecanico