Encuentre el límite de distribución de la secuencia de distribuciones

Question

Encuentre el límite de distribución de la secuencia de distribuciones

Matemáticas
análisis real
teoría de la distribución
ecuaciones diferenciales parciales

s0ggyj0hns0n

Encuentre el límite distribucional de la secuencia de distribuciones

$F_{norte} = norte d_{- \frac{1}{norte}} - norte d_{\frac{1}{norte}}$ $F_n=n\delta_{-\frac{1}{n}}-n\delta_{\frac{1}{n}}$

Pista: $F_n$ es la derivada distribucional de alguna función

Hasta ahora, he intentado trabajar hacia atrás hacia la definición de la derivada distribucional para hacer uso de la pista:

F_{norte} = norte d_{- \frac{1}{norte}} - norte d_{\frac{1}{norte}}

$F_n=n\delta_{-\frac{1}{n}}-n\delta_{\frac{1}{n}}$

F_{norte} =< norte d_{- \frac{1}{norte}}, ϕ > - < norte d_{\frac{1}{norte}}, ϕ >

$F_n=<n\delta_{-\frac{1}{n}},\phi>-<n\delta_{\frac{1}{n}},\phi>$

norte \int_{- 1 / norte}^{1 / norte} ϕ^{'} (X) d X

$n\int_{-1/n}^{1/n}\phi'(x) \ dx$

- \int_{R} F (X) ϕ^{'} (X) d X

$-\int_{\mathbb{R}}f(x)\phi'(x) \ dx$

- < F, ϕ^{'} > = < F^{'}, ϕ >

$-<f,\phi'> \ = \ <f',\phi>$ dónde

F (X) = {\begin{cases} - norte & - \frac{1}{norte} \leq X \leq \frac{1}{norte} \\ 0 & de lo contrario \end{cases}

$f(x) = \begin{cases} -n & \text{$-\frac{1}{n}\le x\le\frac{1}{n}$} \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$

Pero no estoy seguro de cómo proceder desde aquí y cómo seguir esta pista me acercó a la respuesta.

¡Cualquier ayuda es muy apreciada!

Respuestas (1)

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Hiperplano · Answer 1

Tome alguna función de prueba $\phi$ , entonces

⟨ F_{norte}, ϕ ⟩ = \int norte (d (X + \frac{1}{norte}) - d (X - \frac{1}{norte})) ϕ (X) d X = norte (ϕ (- \frac{1}{norte}) - ϕ (+ \frac{1}{norte})) \overset{norte \to \infty}{⟶} - 2 ϕ^{'} (0)

$\langle F_n, \phi\rangle = \int n\big(\delta(x+\tfrac 1n) - \delta(x-\tfrac 1n)\big)\phi(x) d x = n\big(\phi(-\tfrac 1n)-\phi(+\tfrac 1n)\big) \overset{n\to\infty}{\longrightarrow} -2\phi'(0)$

Entonces la distribución límite $F$ es el funcional lineal $F(\phi) = -2\phi'(0)$ . En particular $F=2\delta'$ .

como llegaste $-2\phi'(0)$ para cuando $n\rightarrow\infty$ ?
@nickoba en.wikipedia.org/wiki/Symmetric_derivative Tenga en cuenta que $\phi$ es suave por suposición.
el -2 todavía me está desconcertando, ¿te importaría explicar esa parte? porque no seria $\infty$ en lugar de -2?
@nickoba lo es $-2\phi'(0)$ pero hubo un pequeño error de señal, que arreglé ahora. Tenemos $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2 h} = f'(x)$ . Sustituto $x=0$ , $h=1/n$ y $f=\phi$ .

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usuario481532

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