¿Los operadores integrales singulares están acotados en LlogLLlog⁡LL\log L?

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¿Los operadores integrales singulares están acotados en LlogLLlog⁡LL\log L?

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michek

Mi pregunta es sobre integrales singulares de tipo Calderon Zygmund. Se sabe que la función máxima está acotada en $L\log L \mapsto L^1$ (pero no en $L^1$ ) y satisface los mismos límites de operador que los operadores integrales singulares. ¿Son los operadores integrales singulares, por lo tanto, generalmente acotados de $L\log L \mapsto L^1$ ?

Sé sobre la incrustación de puntos finales $L^\infty\mapsto BMO$ pero esta pregunta es de gran interés para mí.

matt rosenzweig

La función máxima de una función ae distinta de cero nunca está en

L^{1}

$L^{1}$ y puede o no ser incluso localmente integrable. Se descompone al menos como como

{| x |}^{- d}

$\left|x\right|^{-d}$ . El operador maximal (Hardy-Littlewood)

M f

$Mf$ de un

L \log L

$L\log L$ función

f

$f$ apoyado en una bola finita

B

$B$ es integrable sobre

B

$B$ . Lo contrario también es cierto; este es un resultado de Stein.

Respuestas (1)

¿Los operadores integrales singulares están acotados en LlogLLlog⁡LL\log L?

La función máxima de una función ae distinta de cero nunca está en $L^{1}$ y puede o no ser incluso localmente integrable. Se descompone al menos como como $\left|x\right|^{-d}$ . El operador maximal (Hardy-Littlewood) $Mf$ de un $L\log L$ función $f$ apoyado en una bola finita $B$ es integrable sobre $B$ . Lo contrario también es cierto; este es un resultado de Stein.

matt rosenzweig · Answer 1

La respuesta es no. Ciertas integrales singulares se pueden usar para caracterizar espacios de funciones, como el espacio de Hardy $H^{1}(\mathbb{R}^{d})$ . Por ejemplo, la transformada de Hilbert está acotada $H^{1}(\mathbb{R})\rightarrow L^{1}(\mathbb{R})$ y de hecho, esta delimitación caracteriza completamente $H^{1}(\mathbb{R})$ .

Teorema. Una función $f\in L^{1}(\mathbb{R})$ pertenece al espacio de Hardy $H^{1}(\mathbb{R})$ si y solo si es la transformada de Hilbert $H(f)$ es integrable.

Para una demostración de este resultado, véase L. Grafakos, Modern Fourier Analysis Cor. 2.4.7.

Dado que las funciones en $H^{1}(\mathbb{R}^{d})$ necesariamente tienen media cero--esta es una consecuencia trivial de la descomposición atómica--es suficiente exhibir una función $f\in L\log L(\mathbb{R})$ tal que $\int f\neq 0$ . Te dejo esto a ti.

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michek

matt rosenzweig

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matt rosenzweig

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