El límite de las funciones armónicas acotadas es armónico.

Esta respuesta no utiliza un análisis complejo per se, sino una propiedad básica de la integral de Lebesgue, el teorema de la convergencia dominada. ¡Lo siento! Pensé que podrías encontrarlo útil, no obstante.

Para mostrar que$u$es armónico, elige un punto$z_0\in U$y observa que cada$u_n$satisface la propiedad del valor medio en$z_0$:

Como usted indica, podemos suponer que$U$es un disco, ya que ser armónico es una propiedad local, por lo que existe una secuencia de funciones holomorfas$f_n$con$u_n = \Re f_n$. Para elevar la convergencia puntual a la convergencia localmente uniforme, necesita algo como la acotación, y un truco común para pasar de una parte real acotada a una función acotada es exponenciar, es decir, considerar$g_n = \exp f_n$. Entonces$(g_n)$es una secuencia de funciones holomorfas con$|g_n| = \exp u_n \le e$. Por el teorema de Montel toda sucesión uniformemente acotada de funciones holomorfas es normal, es decir, existe una subsucesión localmente uniformemente convergente$g_{n_k} \to g$, dónde$g$es holomorfo. Entonces$|g_{n_k}| = \exp u_n \to \exp u$puntualmente, por lo que$|g| = \exp u$, y$u = \log |g|$es armónico.