Relación de valores medios y funciones armónicas

Question

Relación de valores medios y funciones armónicas

laplaciano
Matemáticas
análisis armónico
funciones armónicas
ecuaciones diferenciales parciales

eric

Intento responder a la siguiente pregunta:

Dejar $\Omega$ ser un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^n$ . Suponer $h:\Omega\to \mathbb{R}$ es una función continua que satisface
$R \int_{\partial B_{R} (y)} h (X) d σ = norte \int_{B_{R} (y)} h (X) d X$ $R\int_{\partial B_R{\left(y\right)}}h\left(x\right)d\sigma=n\int_{B_R\left(y\right)}h\left(x\right)dx$ para todos $B_R\left(y\right)\subset\subset \Omega$ . Es $h$ es armónico en $\Omega$ ?

Mi corazonada es No. Esta es mi razón. Tenga en cuenta que la fórmula clásica del valor medio de las funciones armónicas dice que el promedio (área/volumen) de una función armónica debe ser igual al valor en el centro, a saber

h (y) = \frac{1}{norte ω_{norte} R^{norte - 1}} \int_{\partial B_{R} (y)} h (X) d σ = \frac{1}{ω_{norte} R^{norte}} \int_{B_{R} (y)} h (X) d X,

$h\left(y\right)= \frac{1}{n\omega_nR^{n-1}}\int_{\partial B_R\left(y\right)} h\left(x\right)d\sigma=\frac{1}{\omega_nR^{n}}\int_{B_R\left(y\right)}h\left(x\right)dx,$ dónde

ω_{n}

$\omega_n$ indica el volumen de la unidad

n

$n$ -pelota, cuando sea

B_{R} (y) \subset\subset Ω

$B_R\left(y\right)\subset\subset \Omega$ si

h : Ω \to R

$h:\Omega\to \mathbb{R}$ es armónico. Sin embargo, a partir de la suposición,

h

$h$ solo satisface la ecuación (dividir

n ω_{n} R^{n}

$n\omega_n R^{n}$ en ambos lados de la ecuación dada)

\frac{1}{norte ω_{norte} R^{norte - 1}} \int_{\partial B_{R} (y)} h (X) d σ = \frac{1}{ω_{norte} R^{norte}} \int_{B_{R} (y)} h (X) d X,

$\frac{1}{n\omega_nR^{n-1}}\int_{\partial B_R\left(y\right)} h\left(x\right)d\sigma=\frac{1}{\omega_nR^{n}}\int_{B_R\left(y\right)}h\left(x\right)dx,$ cual

h (y)

$h\left(y\right)$ no necesariamente tiene que ser igual a la media. Aunque sabemos que la propiedad del valor medio implica armonía, la propiedad del valor medio aún requiere que el promedio sea igual al valor en el centro . Como tal, parece menos probable que

h

$h$ ser una función armónica. Sin embargo, no he encontrado ningún ejemplo para verificar mi suposición, así que me gustaría preguntar si mi suposición es verdadera o

h

$h$ es realmente una función armónica bajo la suposición.

Para que conste, por la propiedad de valor medio en el último párrafo, quiero decir

Una función continua $h:\Omega\to \mathbb{R}$ se dice que tiene la propiedad del valor medio si para cada $y\in \Omega$ , existe una secuencia de números positivos $\left\{r_i\right\}$ con $r_i\to 0$ como $i\to \infty$ tal que
$h (y) = \frac{1}{norte ω_{norte} {r_{i}}^{norte - 1}} \int_{\partial B_{r_{i}} (y)} h (X) d σ$ $h\left(y\right)=\frac{1}{n\omega_n{r_i}^{n-1}}\int_{\partial B_{r_i}\left(y\right)} h\left(x\right)d\sigma$ para todos $r_i$ .

Respuestas (1)

Relación de valores medios y funciones armónicas

JackT · Answer 1

Por un lado, estoy de acuerdo con su corazonada de que al principio no parece obvio que su segunda ecuación implicaría $u$ tiene la propiedad del valor medio. Por otro lado, parece que esta pregunta es una pregunta de examen/tarea que me hizo pensar que en realidad $u$ sería armónico. creo que la respuesta es si $u$ es armónico y se me ocurrieron dos pruebas de este hecho.

Prueba 1: Deja

ϕ (ρ) = \int_{B_{ρ} (y)} h (X) d X .

$\phi (\rho) = \int_{ B_\rho (y) }h(x) \, d x .$ Por coordenadas polares

ϕ^{'} (ρ) = \frac{d}{d ρ} \int_{B_{ρ} (y)} h (X) d X = \int_{\partial B_{ρ} (y)} h (X) d σ_{X} .

$\phi'(\rho)=\frac{d}{d \rho}\int_{ B_\rho (y) }h(x) \, d x = \int_{\partial B_\rho (y) }h(x) \, d \sigma_x .$ Desde

\int_{\partial B_{ρ} (y)} h (X) d σ_{X} = \frac{norte}{ρ} \int_{B_{ρ} (y)} h (X) d X

$\int_{\partial B_\rho (y) }h(x) \, d \sigma_x =\frac n \rho \int_{ B_\rho (y) }h(x) \, d x$ tenemos eso

ϕ^{'} (ρ) = \frac{norte}{ρ} ϕ (ρ) .

$\phi'(\rho) = \frac n \rho \phi(\rho).$ La solución general a esta EDO es

ϕ (ρ) = A ρ^{norte} .

$\phi(\rho) = A \rho^n.$ Entonces

A = \underset{ρ \to 0^{+}}{límite} \frac{ϕ (ρ)}{ρ^{norte}} = \underset{ρ \to 0^{+}}{límite} \frac{1}{ρ^{norte}} \int_{B_{ρ} (y)} h (X) d X = ω_{norte} h (y) .

$A = \lim_{\rho \to 0^+} \frac{\phi(\rho)}{\rho^n}=\lim_{\rho \to 0^+} \frac1{\rho^n}\int_{ B_\rho (y) }h(x) \, d x =\omega_n h(y).$ De este modo,

ϕ (ρ) = ω_{n} u (y) ρ^{n}

$\phi(\rho) = \omega_n u(y) \rho^n$ que podemos reescribir como

tu (y) = \frac{1}{ω_{norte} ρ^{norte}} \int_{B_{ρ} (y)} h (X) d X .

$u(y) = \frac 1 {\omega_n \rho^n}\int_{ B_\rho (y) }h(x) \, d x .$ Esto significa

h

$h$ satisface la propiedad del valor medio por lo que es armónico.

Prueba 2: Este necesita eso $h$ es $C^2$ que no has asumido, pero aún así pensé que valía la pena compartirlo. (Esta fue en realidad la primera prueba que se me ocurrió). Es bien sabido (ver por ejemplo Thm 1.1.1 & 1.1.2 en Ecuaciones diferenciales parciales elípticas desde un punto de vista elemental por E. Valdinoci & S. Dipierro ) que

\frac{1}{ρ^{2}} (\frac{1}{norte ω_{norte} ρ^{norte - 1}} \int_{\partial B_{ρ} (y)} h (X) d σ_{X} - h (y)) \to \frac{1}{2 norte} Δ h (y)

$\frac1 {\rho^2} \bigg ( \frac 1 {n \omega_n \rho^{n-1}} \int_{\partial B_\rho (y) }h(x) \, d \sigma_x -h(y) \bigg ) \to \frac 1 {2n} \Delta h(y)$ y

\frac{1}{ρ^{2}} (\frac{1}{ω_{norte} ρ^{norte}} \int_{B_{ρ} (y)} h (X) d X - h (y)) \to \frac{1}{2 (norte + 1)} Δ h (y)

$\frac1 {\rho^2} \bigg ( \frac 1 { \omega_n \rho^n} \int_{ B_\rho (y) }h(x) \, d x -h(y) \bigg ) \to \frac 1 {2(n+1)} \Delta h(y)$ como

ρ \to 0^{+}

$\rho \to 0^+$ . Como dijiste, sabemos que

\frac{1}{norte ω_{norte} ρ^{norte - 1}} \int_{\partial B_{ρ} (y)} h (X) d σ_{X} = \frac{1}{ω_{norte} ρ^{norte}} \int_{B_{ρ} (y)} h (X) d X .

$\frac 1 {n \omega_n \rho^{n-1}} \int_{\partial B_\rho (y) }h(x) \, d \sigma_x = \frac 1 { \omega_n \rho^n} \int_{ B_\rho (y) }h(x) \, d x .$ Resulta que

\frac{1}{ρ^{2}} (\frac{1}{norte ω_{norte} ρ^{norte - 1}} \int_{\partial B_{ρ} (y)} h (X) d σ_{X} - h (y)) = \frac{1}{ρ^{2}} (\frac{1}{ω_{norte} ρ^{norte}} \int_{B_{ρ} (y)} h (X) d X - h (y)) .

$\frac1 {\rho^2} \bigg ( \frac 1 {n \omega_n \rho^{n-1}} \int_{\partial B_\rho (y) }h(x) \, d \sigma_x -h(y) \bigg ) = \frac1 {\rho^2} \bigg ( \frac 1 { \omega_n \rho^n} \int_{ B_\rho (y) }h(x) \, d x -h(y) \bigg ).$ Enviando

ρ \to 0^{+}

$\rho \to 0^+$ , obtenemos

\frac{1}{2 norte} Δ h (y) = \frac{1}{2 (norte + 1)} Δ h (y) .

$\frac 1 {2n} \Delta h(y) = \frac 1 {2(n+1)} \Delta h(y).$ Por eso,

Δ h (y) = 0

$\Delta h(y)=0$ .

¡Gracias por tu fabulosa respuesta! Sin embargo, descubrí que tenía varios errores tipográficos en esta publicación. En resumen, cada uno $u$ que apareció en la última edición ha sido reemplazada por $h$ . Siento mucho haberte engañado...
Acabo de trabajar en su solución nuevamente y funciona si $u$ se reemplaza con $h$ !
Ah, ups, también tengo errores tipográficos... cada vez que escribí $u$ también quise decir $h$

Relación de valores medios y funciones armónicas

eric

Respuestas (1)

JackT

eric

eric

JackT

¿Funciones armónicas que convergen uniformemente?

El límite de las funciones armónicas acotadas es armónico.

Desigualdad para una función armónica con gradiente acotado desde abajo

¿Alguien sabe cómo resolver esta ecuación diferencial?

Justificación de la cita de Fourier sobre "un gráfico arbitrariamente caprichoso"

Recomendaciones de libros de análisis numérico y ecuaciones diferenciales que se centran en los temas dados.

Verificación de la medida de Haar

Resolver ecuaciones diferenciales no lineales con condiciones de contorno

¿Cuáles son algunas buenas referencias que aclaran el descubrimiento/creación de la Serie de Fourier?

Extender una función armónica que satisface una condición de crecimiento en una singularidad aislada