Problema simple de ODE en un artículo de 1964 de Peter Lax

El artículo "*Desarrollo de singularidades de soluciones de la ecuación diferencial parcial hiperbólica no lineal" de Peter D.Lax (1964). Comienza con un teorema simple sobre las EDO.

Teorema: Sea$z(t)$sea ​​la solución del problema de valor inicial

$$dz/dt =a(t)z^2,\ \ \ z(0)=m$$ en el intervalo$(0,T)$. Supongamos que la función$a(t)$satisface la desigualdad $$0<A<a(t),\ \ \ \ \ \ 0\leq t\leq T,$$ y supongamos que$m$es positivo;

entonces

$$T<(mA)^{-1}$$

la prueba de Lax siguiente

Dejar$z_0(t)$sea ​​la solución de la ecuación de comparación

$$dz_0/dt=Az_0^2,\ \ \ z_0(0)=m.$$

Como A es el límite inferior de$a(t)$, se sigue fácilmente que$z_0(t)$es el límite inferior para$z(t)$para todo t positivo.

Desde$z_0=m/(1-mAt)\rightarrow \infty\ \ at\ \ t=(mA)^{-1}$, resulta que$z(t)$no puede existir más allá de este tiempo.$Q.E.D$

Trato de verificar "Dado que A es el límite inferior para$a(t)$, se sigue fácilmente que$z_0(t)$es el límite inferior para$z(t)$para todo t positivo." de esta manera.

Para probar esto, creo un lema siguiente.

(Mi lema) deja$g:[0,T)\rightarrow \mathbb{R}$ser una función que están siguiendo;

i)$g(0)\geq 0$; ii)$g'(0)>0$; es decir$\forall \epsilon>0,\ \exists \delta>0$calle$0<t<\delta$implicar$|\frac{g(t)-g(0)}{t}-g'(0)|<\epsilon$

entonces$\exists T^*\in (0,T)$calle$g(t)\geq 0\ \ for\ t \in [0,T^*)$

prueba) A partir de mi suposición, dejemos$\epsilon= g'(0)/2$entonces existe$\delta>0$calle$t\in(0,\delta)$

$$|\frac{g(t)-g(0)}{t}-g'(0)|<g'(0)/2$$

por lo tanto

$$g'(0)/2<[g(t)-g(0)]/t<3g'(0)/2\ \ \ for \ t \in (0,\delta)$$ $$g(t)>g'(0)t/2+g(0)>0\ \ for\ t\in(0,\delta)$$ porque$g(0)\geq 0$,$g(t)\geq0\ \ \ \ for\ \ \ t \in [0,\delta)$. dejar$\delta= T*$entonces la prueba está hecha.

ahora demuestre "Ya que A es el límite inferior para$a(t)$, se sigue fácilmente que$z_0(t)$es el límite inferior para$z(t)$para todo t positivo".

reclamar) dejar$z(t),z_0(t)$satisfacer la sugerencia anterior entonces$z_0(t)\leq z(t)$para$t \in [0,T)$.

(mi prueba) deja$g(t)=z(t)-z_0(t)$para$t \in [0,T)$entonces$g(0)=m-m=0, g'(0)=(a(0)-A)m^2>0$por lo tanto$g(t)$satisfacer la sugerencia de mi lema. por lo tanto$\exists T^*\in (0,T)$calle$t \in [0,T^*)$implicar$g(t)\geq 0$.

de hecho,$g(t)>0$para$t\in(0,T^*)$. por lo tanto$z(t)\geq z_0(t)$para$t \in [0,T^*)$,$z(t)> z_0(t)$para$t\in(0,T^*)$.

Ahora por contradicción, supongamos que existe$T_p \in [T^*,T)$calle$z_0(T_p)>z(T_p)$; es decir$g(T_p)<0$.

Entonces existe$T_1\in [T^*,T_p)$st i)$g(T_1)=0$; ii)$g(t)>0$para$t\in (0,T_1)$iii)$\exists \eta>0$calle$g(t)<0$para$t\in(T_1,T_1+\eta)$

es decir) existen$T_1$cual$g(t)$primero pasar de un valor positivo a un valor negativo.

entonces podemos encontrar contradicción, en$t=T_1$,$g'(T_1)=a(T_1)z(T_1)^2-A z_0(T_1)^2=(a(T_1)-A)z_0(T_1)^2>0$tenga en cuenta que$z_0(T_1)= m/(1-mAt)>0$

por mi lema, existen$T^{**}\in (T_1,T)$calle$t\in [T_1,T^{**})$implicar$g(t)\geq 0$;

por lo tanto$z(t)-z_0(t)=g(t)\geq 0 \ \ \forall t\in [0,T)$.$z_0 is lower bound of z.$

esta es mi prueba,

pero creo que hay algunos errores en mi prueba.

primero, z es la solución para$dz/dt=a(t)z^2, \ \ \ z(0)=m$en$(0,T)$pero yo uso$z'(0)-z_0'(0)>0$para mi prueba, sin embargo$z'$no está definido para$t=0$

segundo, uso "existe$T_1$cual$g(t)$primero pase de un valor positivo a un valor negativo", pero en realidad, no sé cómo aclarar esta oración.

Si tiene alguna idea para aclarar mi prueba, o si tiene una mejor idea para probar "Dado que A es un límite inferior para$a(t)$, se sigue fácilmente que$z_0(t)$es el límite inferior para$z(t)$para todo t positivo.",

por favor dame un poco de ayuda