Funcional de onda de Schrödinger (campos cuánticos) - Resolución de integrales gaussianas funcionales

De acuerdo, estoy investigando algo sobre la representación de Schrödinger en la teoría cuántica de campos. El funcional de onda de estado fundamental para el campo de Klein Gordon es un gaussiano generalizado en el espacio de posición (básicamente una red de osciladores armónicos). Me gustaría calcular las funciones de correlación de tiempo igual$\langle \phi (\vec x)\phi (\vec y)\rangle_0$. yo se que la respuesta es

$$D(\vec x-\vec y)=\int \frac{d^3k}{(2\pi)^3}\frac{e^{i\vec k\cdot (\vec x-\vec y)}}{2\omega_k},$$ tomando prestado principalmente de la notación de P&S. En el formalismo que estoy usando tengo algo como $$\Psi[\phi]=N\times \exp\bigg[-\frac{1}{2}\int d^3x\int d^3y\; \phi(\vec x)G(\vec x-\vec y)\phi(\vec y)\bigg]\\=N\;exp\bigg[-\frac{1}{2}\int\frac{d^3k}{(2\pi)^3} \omega_k|\tilde\phi(\vec k)|^2\bigg].$$

Sé que el factor$\phi(x)\phi(y)=\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}e^{i\vec p\cdot\vec x}\int\frac{d^3p'}{(2\pi)^3}e^{i\vec p'\cdot\vec y}\tilde\phi(\vec p)\tilde\phi(\vec p')$, se puede expandir en una transformada de Fourier. Estoy tratando de evaluar la función de correlación,

$$\langle \phi (\vec x)\phi (\vec y)\rangle_0=\int D\phi \phi (\vec x)\phi (\vec y)|\Psi[\phi]|^2\\ \to N\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}e^{i\vec p\cdot\vec x}\int\frac{d^3p'}{(2\pi)^3}e^{i\vec p'\cdot\vec y}\tilde\phi(\vec p)\tilde\phi(\vec p')\exp\bigg[-\int\frac{d^3k}{(2\pi)^3} \omega_k|\tilde\phi(\vec k)|^2\bigg]$$

Puedo dividir las transformadas de Fourier en partes reales e imaginarias y encontrar que la integración funcional se desvanece a menos que (consulte el capítulo 9 de P&S para un cálculo similar)$\vec p=-\vec p'$. El problema que tengo es que siempre me falta un factor de dos en el resultado final (después de las normalizaciones adecuadas, etc., por supuesto), lo que creo que proviene del hecho de que estoy sumando las integrales.

$$\bigg(\tilde\phi^R(\vec p)\bigg)^2+\bigg(\tilde\phi^I(\vec p)\bigg)^2.$$

Incluso si normaliza la división en partes reales e imágenes, esto se compensa con el argumento de la exponencial. Estaba tratando de determinar si hay un factor de conteo excesivo asociado con la integral doble, pero tampoco veo que ese sea el caso. ¿Alguien tiene problemas similares con cálculos como este?

EDITAR: algunos comentarios sobre esta formulación de QFT: esta es una forma alternativa de abordar QFT donde toma el hamiltoniano de Klein Gordon,

$$H=\frac{1}{2}\int d^3x\;\pi^2-\bigg(\vec\nabla\phi\bigg)^2+m^2\phi^2$$ El impulso canónico $\pi$de los campos se toma como el generador de traducciones en el espacio de configuración (por lo tanto, un operador derivado funcional) $$\pi\to-i\frac{\delta}{\delta\phi}$$

Y resolver una ecuación funcional de Schrödinger. Este formalismo no es manifiestamente covariante, pero todas las cantidades observables (que yo sepa) están de acuerdo con la representación del espacio de Fock.

La normalización se encuentra utilizando la generalización funcional de las técnicas utilizadas en QM. La normalización no está bien definida porque cancela para el cálculo de funciones de correlación.

Este método es especialmente adecuado para una perspectiva informativa de QFT ya que el funcional de onda está relacionado con la distribución de probabilidad de la configuración del campo de forma normal. Mi investigación está relacionada con la reescritura de aspectos de QFT en términos de aspectos teóricos de la información. La renormalización se verá (con suerte) como una mezcla de conceptos como granularidad gruesa y suficiencia.