Derivando el propagador de fotones

Como el cartel original de esa pregunta, creo que podría ayudar. Usaré la misma notación que en la pregunta original.

A partir de la ecuación

$$\left(-k^2g_{\mu\nu}+(1-\frac{1}{\xi})k_\mu k_\nu\right)D^{\nu\rho}(k)=i\delta^\rho_\mu\tag{1}$$

hacemos el Ansatz

$$D^{\mu\rho}(k)=A g^{\mu\rho}+B k^\mu k^\rho. \tag{2}$$

Insertando este Ansatz en la Eq.$(1)$obtenemos

$$\left[-k^2 g_{\mu\nu}+\left(1-\frac{1}{\xi} \right)k_\mu k_\nu\right]\left[A g^{\nu\rho} +B k^\nu k^\rho\right]=i\delta^\rho_\mu.\tag{3}$$

(Te falta el factor de$i$del lado derecho de$(3)$en su pregunta, pero lo pondré aquí.)

lo que tienes que hacer no es resolver$A$y$B$por aislamiento, pero en realidad compare los coeficientes en ambos lados de la ecuación.$(3)$. Expandiendo el producto y después de un poco de álgebra, deberías llegar a

$$A=-\frac{i}{k^2},\quad B=\frac{i}{k^4}(1-\xi),$$

que te dará los coeficientes de la inversa$(2)$.

Como estás usando tensores con índices griegos, quiero señalar que la convención implica que$\bar D_{\nu\lambda}(k)=Ag_{\nu\lambda}+Bk_\nu k_\lambda$es técnicamente 16 ecuaciones, que es más que suficiente para aislar por$A$y$B$. Si$g_{\nu\lambda}$es la métrica y$k_\nu$es un tensor de momento sin valor de operador, entonces ambos términos en la derecha deben ser simétricos, lo que significa que tiene como máximo 10 ecuaciones (menos sobredeterminado es mejor).

En teoría, debería poder aislar$A$y$B$introduciendo los diferentes componentes de$g$y$k$. Sin saber de qué están compuestos esos tensores, no puedo evitarlo. Pero puedo decirles que este no es un caso de tener muy pocas ecuaciones (de hecho, me molestaría tener demasiadas ecuaciones).