¿Es posible encontrar siempre un potencial asociado a una fuerza (incluso cuando no es conservativa)?

Question

¿Es posible encontrar siempre un potencial asociado a una fuerza (incluso cuando no es conservativa)?

efectivo
Física
potencial
energía potencial
mecanica-newtoniana

StarBucK

Estoy totalmente confundido por las fuerzas no conservadoras.

Sé que una fuerza no conservativa es una fuerza para la cual el trabajo será independiente de la trayectoria (y solo depende de los límites) o, de manera equivalente, una fuerza que depende de un potencial.

Pero para mí siempre es posible encontrar ese potencial.

Tomaré el ejemplo típico de la fricción como fuerza no conservativa.

Tengo

d W = F d X = - k \frac{d X}{d t} d X

$\delta W = F dx = -k \frac{dx}{dt} dx$

olvidaré el $-k$ porque no es muy importante para lo que quiero decir.

Consideremos que tengo un movimiento biyectivo, puedo escribir $x=f(t)$ y $t=f^{-1}(x)$

De este modo,

\frac{d X}{d t} (t) = \frac{d X}{d t} (F^{- 1} (X)) = gramo (X)

$\frac{dx}{dt}(t)=\frac{dx}{dt}(f^{-1}(x))=g(x)$

Y siempre puedo encontrar una primitiva asociada a $g(x)$ : $G'(x)=g(x)$ .

Por lo tanto, tengo

d W = gramo (X) d X = d GRAMO

$\delta W=g(x)dx=dG$

Por tanto, la fuerza es conservativa. No entiendo.

Aquí hice dos suposiciones principales:

Movimiento biyectivo
Existencia de lo primitivo

Creo que la segunda suposición no es el problema (solo debo suponer que $f$ es continuo).

Tal vez el problema esté relacionado con la primera suposición, tal vez para el movimiento biyectivo entre $x$ y $t$ las fuerzas son siempre conservativas.

Pero creo que mi error esta en otro lado, pero como realmente no lo encuentro pido ayuda.

Me gustaría tener una respuesta vinculada a las "pequeñas matemáticas" que usé aquí usando derivadas y primitivas.

sin tratar_paramediensis_karnik

No creo que el "movimiento biyectivo entre

x

$x$ y

t

$t$ " implica que la(s) fuerza(s) es conservativa. Como ejemplo, una masa o partícula que se mueve en línea recta hasta que choca e interactúa instantáneamente con una pared de tal manera que rebota en una dirección diferente con una velocidad menor (o si no le gustan los tiempos instantáneos, puede imaginar la masa o la bola rodando/interacción sobre la pared durante una cantidad finita de tiempo mayor que 0 s). En ese caso, el movimiento es biyectivo en el sentido de que para cualquier

x

$x$ , uno puede recuperar

t

$t$ unívocamente Sin embargo, las fuerzas que actuaron (o están actuando) sobre

sin tratar_paramediensis_karnik

el sistema no es conservador. Tenga en cuenta también que las fuerzas conservativas tampoco implican una "biyección de movimiento". Tome una masa en un resorte, con o sin fricción. En ambos casos no hay, en general, biyección de movimiento porque dado

x

$x$ , no se puede encontrar un único correspondiente

t

$t$ . En el caso de que exista fricción (movimiento armónico amortiguado), es posible recuperar

t

$t$ para algunos

x

$x$ 's, pero no para todos

x

$x$ 's.

Respuestas (2)

¿Es posible encontrar siempre un potencial asociado a una fuerza (incluso cuando no es conservativa)?

No creo que el "movimiento biyectivo entre $x$ y $t$ " implica que la(s) fuerza(s) es conservativa. Como ejemplo, una masa o partícula que se mueve en línea recta hasta que choca e interactúa instantáneamente con una pared de tal manera que rebota en una dirección diferente con una velocidad menor (o si no le gustan los tiempos instantáneos, puede imaginar la masa o la bola rodando/interacción sobre la pared durante una cantidad finita de tiempo mayor que 0 s). En ese caso, el movimiento es biyectivo en el sentido de que para cualquier $x$ , uno puede recuperar $t$ unívocamente Sin embargo, las fuerzas que actuaron (o están actuando) sobre
el sistema no es conservador. Tenga en cuenta también que las fuerzas conservativas tampoco implican una "biyección de movimiento". Tome una masa en un resorte, con o sin fricción. En ambos casos no hay, en general, biyección de movimiento porque dado $x$ , no se puede encontrar un único correspondiente $t$ . En el caso de que exista fricción (movimiento armónico amortiguado), es posible recuperar $t$ para algunos $x$ 's, pero no para todos $x$ 's.

Tomas Bakx · Answer 1

Tomas Bakx

Aunque es posible tener un "movimiento biyectivo" para una trayectoria específica , no es posible encontrar una función que haga esto para todas las trayectorias.

Un potencial (para el campo de fuerza) tiene la propiedad de que el trabajo realizado por la fuerza a lo largo de cualquier trayectoria está dado por la diferencia de valores del potencial en el punto inicial y final.

¡Espero que esto ayude!

sin tratar_paramediensis_karnik

No veo cómo esto responde a la pregunta. ¿Cómo resuelve esto las dudas sobre el movimiento Biyectivo y la Existencia del primitivo?

StarBucK

@no_choice99 En realidad es más que no es posible encontrar el mismo potencial para todas las trayectorias. Si mi fuerza es de la forma

F (t)

$F(t)$ y yo tengo

t = f (x)

$t=f(x)$ , entonces

F (f (x))

$F(f(x))$ es mi fuerza escrita en función de la posición. Y por lo tanto, esta función en realidad depende de la trayectoria debido a la función

f

$f$ . Por lo tanto, no es posible tener el mismo potencial para todas las trayectorias.

qmecanico · Answer 2

Resultado: para un potencial (posiblemente dependiente de la velocidad) $U=U({\bf r},{\bf v},t)$ , la relación fuerza-potencial definitoria
$\begin{matrix} (A) & F = \frac{d}{d t} \frac{\partial tu}{\partial v} - \frac{\partial tu}{\partial r} \end{matrix}$ ${\bf F}~=~\frac{d}{dt} \frac{\partial U}{\partial {\bf v}} - \frac{\partial U}{\partial {\bf r}} \tag{A}$ tiene que ser satisfecha en cada punto del espacio de configuración (tangente) sin el uso de ecuaciones de movimiento o una trayectoria específica.
Consulte, por ejemplo, esta publicación de Phys.SE para obtener una prueba de que una clase de fuerzas disipativas no tiene potenciales (posiblemente dependientes de la velocidad).

¿Es posible encontrar siempre un potencial asociado a una fuerza (incluso cuando no es conservativa)?

StarBucK

sin tratar_paramediensis_karnik

sin tratar_paramediensis_karnik

Respuestas (2)

Tomas Bakx

sin tratar_paramediensis_karnik

StarBucK

qmecanico

Suponiendo que la tercera ley de Newton sea fuerte, ¿por qué es ∇V(|ri−rj|)=(ri−rj)f∇V(|ri−rj|)=(ri−rj)f\nabla V(\vert {\bf r }_i-{\bf r}_j\vert)=({\bf r}_i-{\bf r}_j)f?

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