Suponiendo que la tercera ley de Newton sea fuerte, ¿por qué es ∇V(|ri−rj|)=(ri−rj)f∇V(|ri−rj|)=(ri−rj)f\nabla V(\vert {\bf r }_i-{\bf r}_j\vert)=({\bf r}_i-{\bf r}_j)f?

Matemáticamente,

$$\nabla V_{ij}(r) = \frac{\partial V}{\partial r}.\frac{\partial r}{\partial x} \hat i + \frac{\partial V}{\partial r}.\frac{\partial r}{\partial y} \hat j + \frac{\partial V}{\partial r}.\frac{\partial r}{\partial z} \hat k$$ También, $$r^2 = x^2 + y^2 + z^2$$ (He tomado $r_{j} = 0$y $r_{i} = r$para simplificar el cálculo). esto le dará $$\frac{\partial r}{\partial x_{i}} = \frac{x_{i}}{r}$$ por cada i.

Y entonces,

$$\nabla V_{ij}(r) = \frac{\partial V}{\partial r}.\frac{1}{r}.(x\hat i + y\hat j +z\hat k)$$ $$=\frac{\partial V}{\partial r}.\frac{1}{r}.(\vec r)$$ De este modo, $\frac{\partial V}{\partial r}.\frac{1}{r}$es el $f$mencionado.

Físicamente, el gradiente de cualquier potencial está dirigido en la dirección en la que está cambiando. Y como$V$depende solo de$r$cambiará en la dirección de$r$.

La fuerza$\textbf{F}_{ij}$debe estar apuntando en la dirección de$\textbf{r}_i-\textbf{r}_j$. Creo que lo que quieren decir ahí es que la parte vectorial de la fuerza debe estar en esa dirección. Esto se puede escribir como$\textbf{r}_i-\textbf{r}_j$veces una función escalar$f$.

Este ejemplo puede ayudarte. El potencial gravitacional entre dos masas se puede escribir como$V(|\textbf{r}_i-\textbf{r}_j|)=-\frac{G m_i m_j}{|\textbf{r}_i-\textbf{r}_j|}$. Por otro lado, la fuerza gravitatoria se puede escribir como$\textbf{F}_{ij}=\frac{G m_i m_j}{|\textbf{r}_i-\textbf{r}_j|^2}(\textbf{r}_i-\textbf{r}_j)$(puedes calcularlo explícitamente). En este ejemplo la función escalar sería$f=\frac{G m_i m_j}{|\textbf{r}_i-\textbf{r}_j|^2}$.

Editar: acabo de ver la respuesta de Abhijeet Melkani, puedes ver el caso general allí. Mi ejemplo es una situación particular.