¿Cómo recuperamos unidades de fuerza a partir de unidades de potencial gravitatorio?

Estás usando una relación incorrecta. la relacion no es

• " la fuerza es igual al gradiente negativo del potencial gravitatorio " pero

• " fuerza es igual al gradiente negativo de la energía potencial gravitacional ":

$$F=-\nabla U= -\frac{dU}{dx}$$

El$U$aquí hay energía potencial , no potencial . Un potencial es más bien una energía potencial por masa .

Si hubiera usado energía potencial para derivar la unidad de fuerza, de hecho habría obtenido la unidad de fuerza correcta de$[\mathrm{\frac{kg \; m}{s^2}}]=[\mathrm{N}]$. Pero usando el potencial para derivar la unidad, no obtienes la unidad de fuerza sino la de fuerza por masa ,$[\mathrm{\frac{kg \; m}{s^2}/kg}]=[\mathrm{\frac{m}{s^2}}]=[\mathrm{\frac{N}{kg}}]$.

Esta es la razón por la que (debido a la función "por masa") le falta uno$\mathrm{kg}$en la unidad derivada.

Encuentro que la forma más fácil de recordar las dimensiones de las unidades es comenzar con la segunda ley:

$$F = ma$$

entonces el trabajo (que es una forma de energía) es fuerza por distancia.

Las unidades de aceleración son m/seg.$^2$así que eso es$LT^{-2}$. Y multiplicando por masa nos da las dimensiones de fuerza$MLT^{-2}$, luego multiplicando por la distancia nos da las dimensiones de la energía$ML^2T^{-2}$.

Cuando tomas el gradiente de la energía potencial,$dU/dx$, en efecto estás dividiendo por$L$, para que vuelvas$MLT^{-2}$. Y esas son, por supuesto, las dimensiones de la fuerza.

Comenzaste con el potencial gravitacional, que es la energía potencial por unidad de masa. Como resultado se obtiene la fuerza por unidad de masa, que en la aceleración, con unidad$m/s^2$.

Por cierto, la unidad de fuerza mksi es el Newton ($kgm/s^2$).

La fuerza gravitacional viene dada por

$$\mathbf{F} = - m\cdot\nabla G_{\text{pot}}$$

El gradiente negativo de un potencial es igual a la Fuerza de campo , y la fuerza que actúa sobre una masa es igual$- m \cdot \nabla G_{\text{pot}}$.

Otro ejemplo la Fuerza Eléctrica, donde$V$es el potencial eléctrico:$\mathbf{F} = q \cdot \mathbf{E} = - q \cdot \nabla V$

Entonces tus$2^{nd}$La ecuación debe corregirse para

$$\Bigg[ \cfrac{kg\cdot m}{s^2}\Bigg] = \Bigg[ kg \cdot \cfrac{J}{kg\cdot m}\Bigg] = \Bigg[ kg \cdot \cfrac{kg \cdot \frac{m^2}{s^2}}{kg\cdot m}\Bigg]$$

$$\Bigg[ \cfrac{kg\cdot m}{s^2}\Bigg] = \Bigg[ \cfrac{kg \cdot m}{s^2}\Bigg]$$

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Conociendo el potencial $\mathbf U$, dado en Joule, vamos a calcular la fuerza por

$$\mathbf F = - \nabla U\quad .$$

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por cierto: es incorrecto ver la Gravitación como una fuerza clásica -> ver la Teoría de la Relatividad de Einstein