Función de onda normalizable que no desaparece en el infinito

Tome un gaussiano (o cualquier función que decaiga lo suficientemente rápido), córtelo en cada unidad y coloque todas las piezas de lado.

Dejar

$$\psi(x) = \begin{cases} 1 & \exists\, n \in \mathbb N: x \in [n, n+\frac 1 {n^2}]\\ 0 & \text{otherwise.} \end{cases} = \sum_{n \in \mathbb N} \mathbf 1_{[n,n+\frac 1 {n^2}]}(x) ,$$ dónde $\mathbf 1_A$es la función característica del conjunto $A$. Después $$\int_{-\infty}^\infty |\psi(x)|^2 dx = \sum_{n=1}^\infty \frac 1 {n^2} < \infty,$$ pero $\psi(x)$no converge a cero como $x \to +\infty$.

Tenga en cuenta que$\psi \in L^2(\mathbb R)$, pero no es dos veces (débilmente) diferenciable y, por lo tanto, no puede ser la solución a la ecuación de Schrödinger con$H = -\Delta + V$. Sin embargo, ese problema se puede resolver fácilmente reemplazando la función de rectángulo con un pulso suave con soporte compacto. Alternativamente, utilice

$$\psi(x) = x^2 \mathrm e^{-x^8 \sin^2 x} ,$$ como se discutió en el Ejemplo 2 de §2.1 en arXiv:quant-ph/9907069 , esto es incluso analítico.

Emilio Pisanty y Eckhard Giere ya han dado contraejemplos discontinuos, constantes por partes en sus respuestas. Aquí proporcionamos, por diversión, un contraejemplo suave infinitamente diferenciable muchas veces$f\in C^{\infty}(\mathbb{R})$de una función integrable cuadrada$f:\mathbb{R} \to [0,1]$eso no satisface$\lim_{|x|\to \infty}f(x)=0$. Nuestro contraejemplo es

$$\tag{1} f(x)~:=~ e^{- g(x)} ~\in ~]0,1], \qquad g(x)~:=~x^4 \sin^2 x~\in ~[0,\infty[.$$

Idea intuitiva: si imaginamos$x$como una variable de tiempo, entonces la función$f$vuelve periódicamente a su valor máximo

$$\tag{2} f(x) =1 \quad\Leftrightarrow\quad g(x) =0 \quad\Leftrightarrow\quad \frac{x}{\pi}\in \mathbb{Z} ,$$

pero pasa más si es tiempo cerca del$x$-eje para que sea integrable al cuadrado.

Demostración: Dejamos al lector una rigurosa y detallada demostración matemática épsilon-delta, pero una demostración heurística esbozada es así. Para cada entero muy grande$|n|\gg 1$, definir una variable desplazada

$$\tag{3} y~:=~x-\pi n.$$

Para el entero fijo$n\in\mathbb{Z}$, suponga siempre a partir de ahora que el$y$-variable pertenece al intervalo

$$\tag{4} |y|~\leq~ \frac{\pi}{2}.$$

Para$|y|\ll\frac{\pi}{2}$muy pequeño, podemos aproximarnos$g(x) \approx (\pi n)^4y^2$, de modo que en el intervalo (4), tenemos

$$\tag{5} g(x)~\lesssim~ \pi^4 |n| \quad \Leftrightarrow\quad |y| ~\lesssim~ |n|^{-\frac{3}{2}}.$$

Por lo tanto, podemos formar una función mayorante integrable cuadrada$h\geq f$(fuera de una región compacta en el$x$-eje) definiendo

$$\tag{6} h(x)~:=~\left\{\begin{array}{lcl} 1 &{\rm for}& |y| ~\lesssim~ |n|^{-\frac{3}{2}}, \cr e^{-\pi^4 |n|}&{\rm for}& |n|^{-\frac{3}{2}}~\lesssim~ |y| ~\leq~ \frac{\pi}{2}, \end{array} \right. \qquad |n|\gg 1.$$

La función$h\in {\cal L}^2(\mathbb{R})$es cuadrado integrable en su totalidad$x$-eje, ya que

$$\tag{7} \sum_{n\neq 0} |n|^{-\frac{3}{2}} ~<~ \infty$$

y

$$\tag{8} \pi \sum_{n\in\mathbb{Z}}e^{-2\pi^4 |n|}~<~\infty$$

son series convergentes.

Aparte de no ser suficiente para probar la convergencia de la integral

$$\int |f(x)|^2\text dx<\infty,$$ tener el límite de fuga $\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=0$solo es necesario para la convergencia dentro de una clase adecuada de funciones "agradables".

Consideremos, por ejemplo, la función

$$f(x)=\sum_{n=1}^\infty\chi_{\left[n,n+\frac1{n^2}\right]}(x)=\left\{\begin{array}&1\text{ if } n\leq x\leq n+1/n^2 \text{ for some }n=1,2,3,\ldots,\\0\text{ otherwise.}\end{array}\right.$$ (Aquí $\chi_A$es la función característica de un conjunto $A\subseteq\mathbb R$.) Esta función tiene una convergencia $L^2$integral pero no tiene un límite bien definido en el infinito. Si bien esta función no es continua, pero al usar las funciones de choque adecuadas , puede hacer una función similar. $C^\infty$funcionan con las mismas propiedades. Este es el tipo de función que está permitiendo cuando no impone límites de fuga en el infinito, es decir, bastante feo.

Más concretamente, digamos que su función de onda obedece a una ecuación de Schrödinger estacionaria con energía$E$por algún potencial$V$tal que$\lim_{x\rightarrow} V(x)>E$(es decir, un estado ligado). Entonces sabes que, en el infinito,$f''(x)$tiene el mismo signo que$f$, que podemos suponer que es positivo. Si$f'(x)$alguna vez es cero en esa región, entonces sabes que será positivo para todos$x$después de eso y$f(x)$aumentará monótonamente, en cuyo caso el$L^2$integral no tiene posibilidad de convergencia. En esta configuración particular, puede restringirse a funciones monótonamente decrecientes, y esas son lo suficientemente buenas como para que el límite de fuga en el infinito sea necesario para$L^2$convergencia.

(Para ser seguido por un argumento más riguroso si encuentro el tiempo.)

Algún ejemplo simple que ilustra que la condición

$$\lim_{|x|\to \infty} f(x) = 0 \quad (1)$$ no es necesario. Si la condición fuera necesaria $f\in L^2$implicaría que el límite en (1) se cumple.

Toma en la dimensión 1 la función

$$f(x) = \sum_{n=2}^{\infty} \chi_{I_n}(x)$$ dónde $\chi_{I_n}$es la función característica del intervalo $I_n = [n-\frac{1}{n^2}, n+\frac{1}{n^2}]$entonces la integral se evalúa como $$\int |f(x)|^2 dx = \sum_{n=2}^{\infty} |I_n| = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{2}{n^2} < \infty\ .$$ Pero la función no converge a cero para $|x|\to \infty$.

Lo siento: Olvidé centrar los intervalos alrededor de n. Ahora corregido.