Función de onda en mecánica cuántica y localidad.

Parte A

R. Esta "simple teoría cuántica relativista potencial" de hecho viola la localidad, pero no por la razón que escribes. Escribiste que la energía, es decir, el hamiltoniano, se define como

$$H =\sqrt{p^2+m^2}$$ por lo que no se puede "ajustar como queramos", independientemente de $k$. De hecho, el problema es que $H$es demasiado limitada, no es que sea demasiado libre. Según tus reglas, él (e incluso su signo que se exige que sea positivo) es una función de $\vec k$. En cambio, la razón correcta por la que esta dinámica no es local es que la ecuación que se muestra arriba, que está en la representación del momento, puede traducirse a la representación de la posición. El impulso es siempre $$\vec p = -i\hbar \nabla$$ el cual está determinado únicamente por los conmutadores canónicos y/o el hecho de que el impulso genera traslaciones en el espacio (la simetría espacio-traslacional es equivalente a la conservación del impulso por el teorema de Noether). Entonces el hamiltoniano en la representación de posición es $$H = \sqrt{m^2 - \hbar^2 \nabla^2}$$ Cambié la masa al cuadrado al primer lugar en la raíz cuadrada porque hace más obvio que podemos tratar de expandir la fórmula de Taylor como $$H = \dots = m\sqrt{1 - \hbar^2/m^2 \cdot \nabla^2} = m(1-\dots)$$ El punto aquí es que la expansión de Taylor contiene potencias arbitrarias de la $\nabla$operadores, incluida la potencia 100. Si algo depende de derivados de órdenes arbitrariamente altos, es no local. (Para un ejemplo bien conocido, considere las expansiones de Taylor de $f(x)$. El valor $f(1)$se puede calcular a partir de $f(0)$y todos los demás derivados en $x=0$.) También hay otras formas de demostrar que $\psi(x,t+dt)$dependería de $\psi(y,t)$para $y$estando arbitrariamente lejos de $x$.

Parte B

B. El "aspecto antinatural" subyacente de la construcción anterior es que toma uno de los valores de la raíz cuadrada y desprecia el otro. Más precisamente, trata "violentamente" de poner los coeficientes de$\exp(-iEt)$para todos los valores negativos de$E$a cero. Eso es una restricción brutal y es la causa última de la no localidad porque las funciones ordinarias del espacio y el tiempo tienen componentes tanto de frecuencia positiva como de frecuencia negativa. En particular, por ejemplo, funciones reales$\psi(x,t)$tienen contribuciones de energía positiva y negativa "igualmente fuertes",$\tilde\psi(-k,E)=\tilde\psi^*(k,E)$.

Entonces, todas las soluciones correctas para escribir ecuaciones mecánicas cuánticas para partículas compatibles con la relatividad deben funcionar con objetos tales como funciones de onda que contienen componentes de energía positiva y negativa. Esto duplica el número de grados de libertad y tal duplicación solo es posible si duplicamos el número de condiciones iniciales (hay que sumar$\dot\Psi(t)$junto a$\Psi(t)$como condiciones iniciales). Su ecuación era "antinaturalmente" de primer orden en el tiempo, pero era de orden infinito en derivadas espaciales (esta asimetría entre el espacio y el tiempo es otra forma de ver que no era realmente compatible con la relatividad a pesar de los intentos superficiales de fingir que lo era). En cambio, la ecuación correcta es de segundo orden tanto en el espacio como en el tiempo, es la ecuación de Klein-Gordon

$$(\partial^2/\partial t^2 -\nabla^2 +m^2) \Phi = 0.$$ Es casi lo mismo, pero es importante que no intentemos sacar la raíz cuadrada manualmente. (La ecuación de Dirac e incluso las ecuaciones de Maxwell en el vacío implican que los componentes también obedecen a las ecuaciones de Klein-Gordon anteriores: simplemente restringen las polarizaciones de varias maneras).

Tal ecuación de Klein-Gordon y todas sus generalizaciones, por lo tanto, deben tener componentes de energía positiva y negativa. Sin embargo, en el mundo real, la energía debe estar limitada desde abajo, no puede haber estados con energía más baja que la energía del vacío, por lo que debe ser imposible crear partículas con estas energías negativas. Uno tiene que tratarlos de manera diferente.

El único "tratamiento diferente" posible significa que las soluciones de frecuencia negativa están realmente vinculadas a operadores de creación para la partícula, mientras que las de frecuencia positiva están vinculadas a algunos operadores de aniquilación. Significa que el campo de Klein-Gordon$\Phi(x,t)$ya no es una combinación de "solo operadores de creación", que describe "una partícula añadida" o su función de onda. Es una combinación de operadores sumando$N=+1$y aquellos con$N=-1$. Es capaz de reducir el número de partículas en el mismo momento.

En consecuencia, todo lo que depende de tales objetos inevitablemente puede aumentar y disminuir el número de partículas y no hay forma de estudiar procesos que tienen un número fijo de partículas de forma aislada. Esto tiene muchas manifestaciones precisas en la teoría cuántica de campos. Por ejemplo, si uno estudia la dispersión de dos partículas, siempre es posible que creemos un par partícula-antipartícula a partir del exceso de energía. La probabilidad de que dichos procesos cambien el número de partículas no es cero y, de hecho, puede estar relacionada con la probabilidad de que otros procesos conserven el número de partículas.

Parte C

C. Si la respuesta se perdió, permitir los modos de energía negativa significaba que escribimos la ecuación diferencial de segundo orden en el tiempo con$\partial^2/\partial t^2$en él (tuvimos que sumar las primeras derivadas$\partial/\partial t(\Phi)$a la lista de condiciones iniciales cuyo número, por cierto, se duplicó) y esto nos permitió evitar la incómoda raíz cuadrada sobre el$k^2+m^2$, y esta raíz cuadrada fue lo que produjo la no localidad (a través de derivadas espaciales de órdenes arbitrariamente altos). En cambio, la ecuación se volvió simétricamente dependiente de las segundas derivadas con respecto al espacio y al tiempo, lo cual es muy relativista, y debido a que solo se usan derivadas espaciales de orden finito, el valor de$\Phi(x,t+dt)$solo depende de$\Phi(y,t)$para$y$perteneciente a la vecindad infinitesimal de$x$: la evolución es local.