Límites utilizados para encontrar el límite no relativo de la ecuación de Klein-Gordon

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Límites utilizados para encontrar el límite no relativo de la ecuación de Klein-Gordon

usuario115561

Solo tengo una pregunta sobre la evaluación del límite no relativista de la ecuación de Klein-Gordon. En el libro que estoy siguiendo ( Quantum Mechanics by Bransden & Joachain) usan los límites (Cap. 15.1 pg 681);

\begin{aligned} | q ϕ | & ≪ metro C^{2} \\ | \frac{ℏ}{2 metro C^{2}} \frac{d ϕ}{d t} | & ≪ | ϕ | \\ | \frac{ℏ^{2}}{2 metro C^{2}} \frac{d^{2} Ψ}{d t^{2}} | & ≪ | ℏ \frac{d Ψ}{d t} | \end{aligned}

$\begin{align} |q\phi|&\ll mc^2\\ \left|\frac{\hbar}{2mc^2}\frac{d\phi}{dt}\right|&\ll|\phi|\\ \left|\frac{\hbar^2}{2mc^2}\frac{d^2\Psi}{dt^2}\right|&\ll\left|\hbar\frac{d\Psi}{dt}\right| \end{align}$

para investigar el límite no relativista de la ecuación de KG para una partícula sin espín, carga $q$ en un campo EM dado por $A$ y $\phi$ . Mi pregunta es, ¿cómo sabemos que podemos usar estos límites? Estoy de acuerdo con todos los demás pasos de la derivación y la ecuación de Schrödinger, pero no puedo entender de dónde vienen estos límites, ya que simplemente se presentan sin explicación en el libro.

No estoy familiarizado con QFT ni con la notación tensorial, pero estoy de acuerdo con tomar la energía aprox. igual a la masa en reposo y $v\ll c$ . Tampoco sé mucho sobre electromagnetismo y, en consecuencia, estoy luchando por ver cómo surgen estos límites. Cualquier ayuda es muy apreciada, gracias!

qmecanico

Observación general: Para una conexión entre Schr. ec. y Klein-Gordon eq, véase, por ejemplo, A. Zee, QFT in a Nutshell, cap. III.5, y esta publicación de Phys.SE más los enlaces incluidos.

usuario115561

@Q Mechanical Lo siento, debería haber mencionado que me estoy acercando a esto desde un punto de vista anterior a QFT, ya que en realidad revisé esa publicación antes de preguntar y ¡no puedo entender demasiado! Estoy de acuerdo con la relación entre las dos ecuaciones, es solo por qué podemos tomar estos límites que no entiendo.

Respuestas (1)

Límites utilizados para encontrar el límite no relativo de la ecuación de Klein-Gordon

Observación general: Para una conexión entre Schr. ec. y Klein-Gordon eq, véase, por ejemplo, A. Zee, QFT in a Nutshell, cap. III.5, y esta publicación de Phys.SE más los enlaces incluidos.
@Q Mechanical Lo siento, debería haber mencionado que me estoy acercando a esto desde un punto de vista anterior a QFT, ya que en realidad revisé esa publicación antes de preguntar y ¡no puedo entender demasiado! Estoy de acuerdo con la relación entre las dos ecuaciones, es solo por qué podemos tomar estos límites que no entiendo.

AccidentalFourierTransformar · Answer 1

$|q\phi|\ll mc^2$ significa que la masa en reposo de la partícula es mucho mayor que la energía potencial electrostática. Esta es la suposición habitual de la mecánica no relativista, que es equivalente a $v\ll c$ . Puedes ver esto con el teorema del virial:
$\frac{1}{2} metro v^{2} \sim q ϕ$ $\frac{1}{2}mv^2\sim q\phi$ Lo que significa que $q\phi\ll mc^2$ si y si $v\ll c$ .
$\frac{\hbar}{2mc^2}\frac{d\phi}{dt}\ll\phi$ es una restricción a la energía potencial: no puede variar muy rápido en el tiempo porque de lo contrario dominaría la radiación electromagnética frente al campo electrostático. El límite $\frac{\hbar}{2mc^2}\frac{d\phi}{dt}\ll\phi$ no dice nada sobre la velocidad de las partículas, sino sobre el campo que sienten. Si tú escribes
$ϕ \sim V_{0} {mi}^{i ω t}$ $\phi\sim V_0\mathrm e^{i\omega t}$ encontrarás eso $\frac{\hbar}{2mc^2}\frac{d\phi}{dt}\ll\phi$ es equivalente a $\hbar \omega\ll 2mc^2$ . Esto nuevamente significa que la energía de radiación ("la energía de los fotones") es pequeña en comparación con el resto de la masa de la partícula.
$\frac{\hbar^2}{2mc^2}\frac{d^2\Psi}{dt^2}\ll\hbar\frac{d\Psi}{dt}$ significa nuevamente que la energía cinética de los electrones es pequeña en comparación con su masa en reposo. Si tú escribes
$Ψ \sim Ψ_{0} {mi}^{- i (mi t - pag X) / ℏ}$ $\Psi\sim \Psi_0 \mathrm e^{-i(E t-px)/\hbar}$ verás eso $\frac{\hbar^2}{2mc^2}\frac{d^2\Psi}{dt^2}\ll\hbar\frac{d\Psi}{dt}$ es equivalente a $E\ll 2mc^2$ .

¡Gracias, esto es exactamente lo que estaba buscando y lo presenté precisamente en el nivel correcto para que lo entienda!
@ellaf Me alegro de haber podido ayudar :-) si tienes más preguntas no dudes en preguntar.
El segundo punto no se trata de la radiación, sino de la producción de pares partícula-antipartícula. Si $\omega>2mc^2$ , el campo EM tiene suficiente energía para crear pares (el factor de 2 es importante aquí)
@Adam, lo que dices es esencialmente lo mismo que dije en mi respuesta: si la energía de los fotones es lo suficientemente alta, pueden inducir la producción de pares. Pero, estrictamente hablando, en este contexto no se debe hablar de producción de pares (OP pregunta sobre "pre-QFT": vea los comentarios anteriores) sino de efectos electromagnéticos no lineales.
No está diciendo eso en su respuesta: "de lo contrario, la radiación electromagnética dominaría en comparación con el campo electrostático" y "no dice nada sobre las partículas", mientras que la producción de pares tiene mucho que ver con las partículas. Y no es porque el OP pregunte sobre pre-QFT que la respuesta debe ser también... cuando el efecto proviene claramente de QM + SR, que es QFT...
@Adam Estoy de acuerdo: no usé las palabras correctas para lo que quise decir allí. La condición $\hbar\omega\ll 2mc^2$ se trata de las partículas. Quise decir que no se trata de la velocidad de las partículas, es decir, no se trata de $v\ll c$ . Editado. (¡pero tenga en cuenta que QM+SR no es QFT en absoluto!)
Claro :) Difícil, todavía discutiría la producción de pares (estoy seguro de que el OP ha oído hablar de eso antes).

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